Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33544 / 33544
↖ ↑ ↗
← S  4.258768°
E  4.262695°		 ← 609.10 m → S  4.258768°
E  4.268188°		 →
↑
609.13 m
↓
↑
609.13 m
↓
S  4.264246°
E  4.262695°		 ← 609.10 m →
371 021 m²		 S  4.264246°
E  4.268188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511848449707031 y=0.511848449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511848449707031 × 216)
    floor (0.511848449707031 × 65536)
    floor (33544.5)     		tx = 33544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511848449707031 × 216)
    floor (0.511848449707031 × 65536)
    floor (33544.5)     		ty = 33544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33544 / 33544 ti = "16/33544/33544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33544/33544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33544 ÷ 216
    33544 ÷ 65536     		x = 0.5118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33544 ÷ 216
    33544 ÷ 65536     		y = 0.5118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5118408203125 × 2 - 1) × π
    0.023681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07439807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.023681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0743980682103272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07439807} λ = 0.07439807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0743980682103272))-π/2
    2×atan(0.928302092730245)-π/2
    2×0.748233398441121-π/2
    1.49646679688224-1.57079632675     		φ = -0.07432953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07439807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07432953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.258768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33544 KachelY 33544 0.07439807 -0.07432953 4.262695 -4.258768
    Oben rechts KachelX + 1 33545 KachelY 33544 0.07449394 -0.07432953 4.268188 -4.258768
    Unten links KachelX 33544 KachelY + 1 33545 0.07439807 -0.07442514 4.262695 -4.264246
    Unten rechts KachelX + 1 33545 KachelY + 1 33545 0.07449394 -0.07442514 4.268188 -4.264246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07432953--0.07442514) × R
    9.5609999999996e-05 × 6371000     		dl = 609.131309999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07432953--0.07442514) × R
    9.5609999999996e-05 × 6371000     		dr = 609.131309999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07439807-0.07449394) × cos(-0.07432953) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997238832096132 × 6371000     		do = 609.101282413388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07439807-0.07449394) × cos(-0.07442514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99723172743385 × 6371000     		du = 609.096942972556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07432953)-sin(-0.07442514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997238832096132-0.99723172743385)×R²
    abs(0.07449394-0.07439807)×7.10466228215356e-06×R²
    9.58699999999979e-05×7.10466228215356e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×7.10466228215356e-06×40589641000000     		ar = 371021.340717119m²