Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33600 / 32576
↖ ↑ ↗
← N  1.054628°
E  4.570312°		 ← 610.68 m → N  1.054628°
E  4.575805°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
N  1.049136°
E  4.570312°		 ← 610.69 m →
372 960 m²		 N  1.049136°
E  4.575805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512702941894531 y=0.497077941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512702941894531 × 216)
    floor (0.512702941894531 × 65536)
    floor (33600.5)     		tx = 33600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497077941894531 × 216)
    floor (0.497077941894531 × 65536)
    floor (32576.5)     		ty = 32576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33600 / 32576 ti = "16/33600/32576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33600/32576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33600 ÷ 216
    33600 ÷ 65536     		x = 0.5126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32576 ÷ 216
    32576 ÷ 65536     		y = 0.4970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5126953125 × 2 - 1) × π
    0.025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07976700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    0.005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07976700} λ = 0.07976700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0184077694541016))-π/2
    2×atan(1.01857823681037)-π/2
    2×0.794601528385309-π/2
    1.58920305677062-1.57079632675     		φ = 0.01840673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07976700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01840673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.054628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33600 KachelY 32576 0.07976700 0.01840673 4.570312 1.054628
    Oben rechts KachelX + 1 33601 KachelY 32576 0.07986287 0.01840673 4.575805 1.054628
    Unten links KachelX 33600 KachelY + 1 32577 0.07976700 0.01831087 4.570312 1.049136
    Unten rechts KachelX + 1 33601 KachelY + 1 32577 0.07986287 0.01831087 4.575805 1.049136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01840673-0.01831087) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01840673-0.01831087) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07976700-0.07986287) × cos(0.01840673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999830600928244 × 6371000     		do = 610.684303118709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07976700-0.07986287) × cos(0.01831087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999832360703953 × 6371000     		du = 610.68537796819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01840673)-sin(0.01831087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999830600928244-0.999832360703953)×R²
    abs(0.07986287-0.07976700)×1.75977570937569e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.75977570937569e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75977570937569e-06×40589641000000     		ar = 372959.925482738m²