Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33791 / 33793
↖ ↑ ↗
← S  5.621453°
E  5.619507°		 ← 607.85 m → S  5.621453°
E  5.625000°		 →
↑
607.86 m
↓
↑
607.86 m
↓
S  5.626919°
E  5.619507°		 ← 607.84 m →
369 484 m²		 S  5.626919°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515617370605469 y=0.515647888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515617370605469 × 216)
    floor (0.515617370605469 × 65536)
    floor (33791.5)     		tx = 33791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515647888183594 × 216)
    floor (0.515647888183594 × 65536)
    floor (33793.5)     		ty = 33793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33791 / 33793 ti = "16/33791/33793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33791/33793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33791 ÷ 216
    33791 ÷ 65536     		x = 0.515609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33793 ÷ 216
    33793 ÷ 65536     		y = 0.515640258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515609741210938 × 2 - 1) × π
    0.031219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09807890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515640258789062 × 2 - 1) × π
    -0.031280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0982706442211151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09807890} λ = 0.09807890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0982706442211151))-π/2
    2×atan(0.906403557669787)-π/2
    2×0.736341735168951-π/2
    1.4726834703379-1.57079632675     		φ = -0.09811286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09807890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.619507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09811286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.621453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33791 KachelY 33793 0.09807890 -0.09811286 5.619507 -5.621453
    Oben rechts KachelX + 1 33792 KachelY 33793 0.09817477 -0.09811286 5.625000 -5.621453
    Unten links KachelX 33791 KachelY + 1 33794 0.09807890 -0.09820827 5.619507 -5.626919
    Unten rechts KachelX + 1 33792 KachelY + 1 33794 0.09817477 -0.09820827 5.625000 -5.626919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09811286--0.09820827) × R
    9.54100000000041e-05 × 6371000     		dl = 607.857110000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09811286--0.09820827) × R
    9.54100000000041e-05 × 6371000     		dr = 607.857110000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09807890-0.09817477) × cos(-0.09811286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995190793047755 × 6371000     		do = 607.850365210156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09807890-0.09817477) × cos(-0.09820827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995181442581214 × 6371000     		du = 607.844654059549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09811286)-sin(-0.09820827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995190793047755-0.995181442581214)×R²
    abs(0.09817477-0.09807890)×9.3504665410471e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.3504665410471e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.3504665410471e-06×40589641000000     		ar = 369484.430807667m²