Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33791 / 35841
↖ ↑ ↗
← S 16.641455°
E  5.619507°		 ← 585.21 m → S 16.641455°
E  5.625000°		 →
↑
585.24 m
↓
↑
585.24 m
↓
S 16.646718°
E  5.619507°		 ← 585.19 m →
342 481 m²		 S 16.646718°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515617370605469 y=0.546897888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515617370605469 × 216)
    floor (0.515617370605469 × 65536)
    floor (33791.5)     		tx = 33791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546897888183594 × 216)
    floor (0.546897888183594 × 65536)
    floor (35841.5)     		ty = 35841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33791 / 35841 ti = "16/33791/35841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33791/35841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33791 ÷ 216
    33791 ÷ 65536     		x = 0.515609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35841 ÷ 216
    35841 ÷ 65536     		y = 0.546890258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515609741210938 × 2 - 1) × π
    0.031219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09807890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546890258789062 × 2 - 1) × π
    -0.093780517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.294620185064865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09807890} λ = 0.09807890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294620185064865))-π/2
    2×atan(0.744814425392143)-π/2
    2×0.640174072042903-π/2
    1.28034814408581-1.57079632675     		φ = -0.29044818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09807890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.619507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29044818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.641455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33791 KachelY 35841 0.09807890 -0.29044818 5.619507 -16.641455
    Oben rechts KachelX + 1 33792 KachelY 35841 0.09817477 -0.29044818 5.625000 -16.641455
    Unten links KachelX 33791 KachelY + 1 35842 0.09807890 -0.29054004 5.619507 -16.646718
    Unten rechts KachelX + 1 33792 KachelY + 1 35842 0.09817477 -0.29054004 5.625000 -16.646718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29044818--0.29054004) × R
    9.18599999999992e-05 × 6371000     		dl = 585.240059999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29044818--0.29054004) × R
    9.18599999999992e-05 × 6371000     		dr = 585.240059999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09807890-0.09817477) × cos(-0.29044818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958115621209764 × 6371000     		do = 585.205303680864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09807890-0.09817477) × cos(-0.29054004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958089310147905 × 6371000     		du = 585.189233206065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29044818)-sin(-0.29054004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958115621209764-0.958089310147905)×R²
    abs(0.09817477-0.09807890)×2.63110618587969e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.63110618587969e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.63110618587969e-05×40589641000000     		ar = 342480.884736503m²