Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33796 / 31748
↖ ↑ ↗
← N  5.594118°
E  5.646973°		 ← 607.88 m → N  5.594118°
E  5.652466°		 →
↑
607.92 m
↓
↑
607.92 m
↓
N  5.588651°
E  5.646973°		 ← 607.88 m →
369 544 m²		 N  5.588651°
E  5.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515693664550781 y=0.484443664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515693664550781 × 216)
    floor (0.515693664550781 × 65536)
    floor (33796.5)     		tx = 33796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484443664550781 × 216)
    floor (0.484443664550781 × 65536)
    floor (31748.5)     		ty = 31748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33796 / 31748 ti = "16/33796/31748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33796/31748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33796 ÷ 216
    33796 ÷ 65536     		x = 0.51568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31748 ÷ 216
    31748 ÷ 65536     		y = 0.48443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51568603515625 × 2 - 1) × π
    0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48443603515625 × 2 - 1) × π
    0.0311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09855827} λ = 0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0977912752249146))-π/2
    2×atan(1.10273259347344)-π/2
    2×0.834216054228728-π/2
    1.66843210845746-1.57079632675     		φ = 0.09763578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09763578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.594118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33796 KachelY 31748 0.09855827 0.09763578 5.646973 5.594118
    Oben rechts KachelX + 1 33797 KachelY 31748 0.09865414 0.09763578 5.652466 5.594118
    Unten links KachelX 33796 KachelY + 1 31749 0.09855827 0.09754036 5.646973 5.588651
    Unten rechts KachelX + 1 33797 KachelY + 1 31749 0.09865414 0.09754036 5.652466 5.588651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09763578-0.09754036) × R
    9.54199999999988e-05 × 6371000     		dl = 607.920819999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09763578-0.09754036) × R
    9.54199999999988e-05 × 6371000     		dr = 607.920819999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09855827-0.09865414) × cos(0.09763578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99523741241384 × 6371000     		do = 607.878839748806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09855827-0.09865414) × cos(0.09754036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995246709494379 × 6371000     		du = 607.884518291896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09763578)-sin(0.09754036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99523741241384-0.995246709494379)×R²
    abs(0.09865414-0.09855827)×9.29708053887257e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.29708053887257e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.29708053887257e-06×40589641000000     		ar = 369543.929053428m²