Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33800 / 33800
↖ ↑ ↗
← S  5.659718°
E  5.668945°		 ← 607.81 m → S  5.659718°
E  5.674438°		 →
↑
607.86 m
↓
↑
607.86 m
↓
S  5.665185°
E  5.668945°		 ← 607.80 m →
369 460 m²		 S  5.665185°
E  5.674438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515754699707031 y=0.515754699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515754699707031 × 216)
    floor (0.515754699707031 × 65536)
    floor (33800.5)     		tx = 33800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515754699707031 × 216)
    floor (0.515754699707031 × 65536)
    floor (33800.5)     		ty = 33800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33800 / 33800 ti = "16/33800/33800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33800/33800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33800 ÷ 216
    33800 ÷ 65536     		x = 0.5157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33800 ÷ 216
    33800 ÷ 65536     		y = 0.5157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5157470703125 × 2 - 1) × π
    0.031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09894176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.031494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09894176} λ = 0.09894176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0989417608157959))-π/2
    2×atan(0.905795459276043)-π/2
    2×0.736007801642061-π/2
    1.47201560328412-1.57079632675     		φ = -0.09878072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09894176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09878072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.659718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33800 KachelY 33800 0.09894176 -0.09878072 5.668945 -5.659718
    Oben rechts KachelX + 1 33801 KachelY 33800 0.09903763 -0.09878072 5.674438 -5.659718
    Unten links KachelX 33800 KachelY + 1 33801 0.09894176 -0.09887613 5.668945 -5.665185
    Unten rechts KachelX + 1 33801 KachelY + 1 33801 0.09903763 -0.09887613 5.674438 -5.665185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09878072--0.09887613) × R
    9.54100000000041e-05 × 6371000     		dl = 607.857110000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09878072--0.09887613) × R
    9.54100000000041e-05 × 6371000     		dr = 607.857110000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09894176-0.09903763) × cos(-0.09878072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99512515052786 × 6371000     		do = 607.810271561813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09894176-0.09903763) × cos(-0.09887613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99511573664963 × 6371000     		du = 607.804521680121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09878072)-sin(-0.09887613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99512515052786-0.99511573664963)×R²
    abs(0.09903763-0.09894176)×9.41387823061302e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.41387823061302e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.41387823061302e-06×40589641000000     		ar = 369460.047826928m²