Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33824 / 33824
↖ ↑ ↗
← S  5.790897°
E  5.800781°		 ← 607.73 m → S  5.790897°
E  5.806275°		 →
↑
607.67 m
↓
↑
607.67 m
↓
S  5.796362°
E  5.800781°		 ← 607.73 m →
369 298 m²		 S  5.796362°
E  5.806275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516120910644531 y=0.516120910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516120910644531 × 216)
    floor (0.516120910644531 × 65536)
    floor (33824.5)     		tx = 33824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516120910644531 × 216)
    floor (0.516120910644531 × 65536)
    floor (33824.5)     		ty = 33824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33824 / 33824 ti = "16/33824/33824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33824/33824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33824 ÷ 216
    33824 ÷ 65536     		x = 0.51611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33824 ÷ 216
    33824 ÷ 65536     		y = 0.51611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    0.0322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10124273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    -0.0322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.101242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10124273} λ = 0.10124273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.101242731997559))-π/2
    2×atan(0.903713646042313)-π/2
    2×0.734863055384957-π/2
    1.46972611076991-1.57079632675     		φ = -0.10107022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10124273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10107022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.790897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33824 KachelY 33824 0.10124273 -0.10107022 5.800781 -5.790897
    Oben rechts KachelX + 1 33825 KachelY 33824 0.10133861 -0.10107022 5.806275 -5.790897
    Unten links KachelX 33824 KachelY + 1 33825 0.10124273 -0.10116560 5.800781 -5.796362
    Unten rechts KachelX + 1 33825 KachelY + 1 33825 0.10133861 -0.10116560 5.806275 -5.796362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10107022--0.10116560) × R
    9.53799999999921e-05 × 6371000     		dl = 607.66597999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10107022--0.10116560) × R
    9.53799999999921e-05 × 6371000     		dr = 607.66597999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10124273-0.10133861) × cos(-0.10107022) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99489675175493 × 6371000     		do = 607.734153256645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10124273-0.10133861) × cos(-0.10116560) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.994887123556057 × 6371000     		du = 607.728271857114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10107022)-sin(-0.10116560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99489675175493-0.994887123556057)×R²
    abs(0.10133861-0.10124273)×9.62819887273536e-06×R²
    9.58799999999926e-05×9.62819887273536e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×9.62819887273536e-06×40589641000000     		ar = 369297.583134905m²