Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33826 / 33826
↖ ↑ ↗
← S  5.801827°
E  5.811768°		 ← 607.66 m → S  5.801827°
E  5.817261°		 →
↑
607.73 m
↓
↑
607.73 m
↓
S  5.807292°
E  5.811768°		 ← 607.65 m →
369 291 m²		 S  5.807292°
E  5.817261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516151428222656 y=0.516151428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516151428222656 × 216)
    floor (0.516151428222656 × 65536)
    floor (33826.5)     		tx = 33826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516151428222656 × 216)
    floor (0.516151428222656 × 65536)
    floor (33826.5)     		ty = 33826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33826 / 33826 ti = "16/33826/33826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33826/33826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33826 ÷ 216
    33826 ÷ 65536     		x = 0.516143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33826 ÷ 216
    33826 ÷ 65536     		y = 0.516143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516143798828125 × 2 - 1) × π
    0.03228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10143448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.03228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.101434479596039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10143448} λ = 0.10143448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.101434479596039))-π/2
    2×atan(0.903540377733393)-π/2
    2×0.734767671776751-π/2
    1.4695353435535-1.57079632675     		φ = -0.10126098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10143448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.811768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10126098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.801827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33826 KachelY 33826 0.10143448 -0.10126098 5.811768 -5.801827
    Oben rechts KachelX + 1 33827 KachelY 33826 0.10153035 -0.10126098 5.817261 -5.801827
    Unten links KachelX 33826 KachelY + 1 33827 0.10143448 -0.10135637 5.811768 -5.807292
    Unten rechts KachelX + 1 33827 KachelY + 1 33827 0.10153035 -0.10135637 5.817261 -5.807292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10126098--0.10135637) × R
    9.53900000000008e-05 × 6371000     		dl = 607.729690000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10126098--0.10135637) × R
    9.53900000000008e-05 × 6371000     		dr = 607.729690000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10143448-0.10153035) × cos(-0.10126098) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.994877486306354 × 6371000     		do = 607.659001284338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10143448-0.10153035) × cos(-0.10135637) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.994867838994078 × 6371000     		du = 607.653108823987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10126098)-sin(-0.10135637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994877486306354-0.994867838994078)×R²
    abs(0.10153035-0.10143448)×9.64731227581783e-06×R²
    9.58700000000118e-05×9.64731227581783e-06×6371000²
    9.58700000000118e-05×9.64731227581783e-06×40589641000000     		ar = 369290.626244739m²