Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33920 / 33920
↖ ↑ ↗
← S  6.315298°
E  6.328125°		 ← 607.08 m → S  6.315298°
E  6.333618°		 →
↑
607.09 m
↓
↑
607.09 m
↓
S  6.320758°
E  6.328125°		 ← 607.07 m →
368 553 m²		 S  6.320758°
E  6.333618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517585754394531 y=0.517585754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517585754394531 × 216)
    floor (0.517585754394531 × 65536)
    floor (33920.5)     		tx = 33920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517585754394531 × 216)
    floor (0.517585754394531 × 65536)
    floor (33920.5)     		ty = 33920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33920 / 33920 ti = "16/33920/33920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33920/33920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33920 ÷ 216
    33920 ÷ 65536     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33920 ÷ 216
    33920 ÷ 65536     		y = 0.517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517578125 × 2 - 1) × π
    -0.03515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.110446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110446616724609))-π/2
    2×atan(0.895434130120379)-π/2
    2×0.730286787028895-π/2
    1.46057357405779-1.57079632675     		φ = -0.11022275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11022275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.315298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33920 KachelY 33920 0.11044662 -0.11022275 6.328125 -6.315298
    Oben rechts KachelX + 1 33921 KachelY 33920 0.11054249 -0.11022275 6.333618 -6.315298
    Unten links KachelX 33920 KachelY + 1 33921 0.11044662 -0.11031804 6.328125 -6.320758
    Unten rechts KachelX + 1 33921 KachelY + 1 33921 0.11054249 -0.11031804 6.333618 -6.320758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11022275--0.11031804) × R
    9.52900000000118e-05 × 6371000     		dl = 607.092590000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11022275--0.11031804) × R
    9.52900000000118e-05 × 6371000     		dr = 607.092590000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11054249) × cos(-0.11022275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993931620181548 × 6371000     		do = 607.081277823162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11054249) × cos(-0.11031804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993921133797436 × 6371000     		du = 607.074872867994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11022275)-sin(-0.11031804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993931620181548-0.993921133797436)×R²
    abs(0.11054249-0.11044662)×1.04863841127179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.04863841127179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.04863841127179e-05×40589641000000     		ar = 368552.601372661m²