Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 34 / 29
↖ ↑ ↗
← N 16.636192°
E 11.250000°		 ← 599.290 km → N 16.636192°
E 16.875000°		 →
↑
606.879 km
↓
↑
606.879 km
↓
N 11.178402°
E 11.250000°		 ← 613.605 km →
368 319 km²		 N 11.178402°
E 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5390625 y=0.4609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5390625 × 26)
    floor (0.5390625 × 64)
    floor (34.5)     		tx = 34
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4609375 × 26)
    floor (0.4609375 × 64)
    floor (29.5)     		ty = 29
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 34 / 29 ti = "6/34/29"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/34/29.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34 ÷ 26
    34 ÷ 64     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29 ÷ 26
    29 ÷ 64     		y = 0.453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453125 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Φ = 0.294524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.294524311265625))-π/2
    2×atan(1.34248760054568)-π/2
    2×0.930576325029205-π/2
    1.86115265005841-1.57079632675     		φ = 0.29035632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29035632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.636192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34 KachelY 29 0.19634954 0.29035632 11.250000 16.636192
    Oben rechts KachelX + 1 35 KachelY 29 0.29452431 0.29035632 16.875000 16.636192
    Unten links KachelX 34 KachelY + 1 30 0.19634954 0.19509992 11.250000 11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 35 KachelY + 1 30 0.29452431 0.19509992 16.875000 11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29035632-0.19509992) × R
    0.0952564 × 6371000     		dl = 606878.5244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29035632-0.19509992) × R
    0.0952564 × 6371000     		dr = 606878.5244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.29452431) × cos(0.29035632) × R
    0.09817477 × 0.958141924186794 × 6371000     		do = 599290.427892137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.29452431) × cos(0.19509992) × R
    0.09817477 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 613605.204967756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29035632)-sin(0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958141924186794-0.981028303500043)×R²
    abs(0.29452431-0.19634954)×0.0228863793132484×R²
    0.09817477×0.0228863793132484×6371000²
    0.09817477×0.0228863793132484×40589641000000     		ar = 368318701713.6m²