Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34048 / 34560
↖ ↑ ↗
← S  9.795678°
E  7.031250°		 ← 601.95 m → S  9.795678°
E  7.036743°		 →
↑
601.87 m
↓
↑
601.87 m
↓
S  9.801091°
E  7.031250°		 ← 601.94 m →
362 289 m²		 S  9.801091°
E  7.036743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519538879394531 y=0.527351379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519538879394531 × 216)
    floor (0.519538879394531 × 65536)
    floor (34048.5)     		tx = 34048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527351379394531 × 216)
    floor (0.527351379394531 × 65536)
    floor (34560.5)     		ty = 34560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34048 / 34560 ti = "16/34048/34560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34048/34560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34048 ÷ 216
    34048 ÷ 65536     		x = 0.51953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34560 ÷ 216
    34560 ÷ 65536     		y = 0.52734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51953125 × 2 - 1) × π
    0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52734375 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12271846} λ = 0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171805848238281))-π/2
    2×atan(0.842142660778491)-π/2
    2×0.699914750257779-π/2
    1.39982950051556-1.57079632675     		φ = -0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34048 KachelY 34560 0.12271846 -0.17096683 7.031250 -9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 34049 KachelY 34560 0.12281434 -0.17096683 7.036743 -9.795678
    Unten links KachelX 34048 KachelY + 1 34561 0.12271846 -0.17106130 7.031250 -9.801091
    Unten rechts KachelX + 1 34049 KachelY + 1 34561 0.12281434 -0.17106130 7.036743 -9.801091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17096683--0.17106130) × R
    9.44700000000132e-05 × 6371000     		dl = 601.868370000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17096683--0.17106130) × R
    9.44700000000132e-05 × 6371000     		dr = 601.868370000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12271846-0.12281434) × cos(-0.17096683) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 601.945714838304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12271846-0.12281434) × cos(-0.17106130) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.985404658655764 × 6371000     		du = 601.935894138722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17096683)-sin(-0.17106130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.985404658655764)×R²
    abs(0.12281434-0.12271846)×1.60770660361242e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.60770660361242e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.60770660361242e-05×40589641000000     		ar = 362289.131103391m²