Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34320 / 34320
↖ ↑ ↗
← S  8.494104°
E  8.525391°		 ← 604.09 m → S  8.494104°
E  8.530884°		 →
↑
604.10 m
↓
↑
604.10 m
↓
S  8.499537°
E  8.525391°		 ← 604.08 m →
364 926 m²		 S  8.499537°
E  8.530884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523689270019531 y=0.523689270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523689270019531 × 216)
    floor (0.523689270019531 × 65536)
    floor (34320.5)     		tx = 34320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523689270019531 × 216)
    floor (0.523689270019531 × 65536)
    floor (34320.5)     		ty = 34320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34320 / 34320 ti = "16/34320/34320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34320/34320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34320 ÷ 216
    34320 ÷ 65536     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34320 ÷ 216
    34320 ÷ 65536     		y = 0.523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.04736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.148796136420654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148796136420654))-π/2
    2×atan(0.861744775367353)-π/2
    2×0.711273117805116-π/2
    1.42254623561023-1.57079632675     		φ = -0.14825009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14825009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.494104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34320 KachelY 34320 0.14879614 -0.14825009 8.525391 -8.494104
    Oben rechts KachelX + 1 34321 KachelY 34320 0.14889201 -0.14825009 8.530884 -8.494104
    Unten links KachelX 34320 KachelY + 1 34321 0.14879614 -0.14834491 8.525391 -8.499537
    Unten rechts KachelX + 1 34321 KachelY + 1 34321 0.14889201 -0.14834491 8.530884 -8.499537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14825009--0.14834491) × R
    9.48199999999955e-05 × 6371000     		dl = 604.098219999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14825009--0.14834491) × R
    9.48199999999955e-05 × 6371000     		dr = 604.098219999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14889201) × cos(-0.14825009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989031067185378 × 6371000     		do = 604.088079986864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14889201) × cos(-0.14834491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989017057100474 × 6371000     		du = 604.079522798348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14825009)-sin(-0.14834491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989031067185378-0.989017057100474)×R²
    abs(0.14889201-0.14879614)×1.40100849040925e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40100849040925e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40100849040925e-05×40589641000000     		ar = 364925.949425573m²