Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34815 / 34817
↖ ↑ ↗
← S 11.183791°
E 11.244507°		 ← 599.19 m → S 11.183791°
E 11.250000°		 →
↑
599.19 m
↓
↑
599.19 m
↓
S 11.189179°
E 11.244507°		 ← 599.18 m →
359 026 m²		 S 11.189179°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531242370605469 y=0.531272888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531242370605469 × 216)
    floor (0.531242370605469 × 65536)
    floor (34815.5)     		tx = 34815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531272888183594 × 216)
    floor (0.531272888183594 × 65536)
    floor (34817.5)     		ty = 34817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34815 / 34817 ti = "16/34815/34817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34815/34817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34815 ÷ 216
    34815 ÷ 65536     		x = 0.531234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34817 ÷ 216
    34817 ÷ 65536     		y = 0.531265258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531234741210938 × 2 - 1) × π
    0.062469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19625367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531265258789062 × 2 - 1) × π
    -0.062530517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.19644541464299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19625367} λ = 0.19625367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19644541464299))-π/2
    2×atan(0.82164617992127)-π/2
    2×0.68780117747829-π/2
    1.37560235495658-1.57079632675     		φ = -0.19519397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19625367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.244507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19519397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.183791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34815 KachelY 34817 0.19625367 -0.19519397 11.244507 -11.183791
    Oben rechts KachelX + 1 34816 KachelY 34817 0.19634954 -0.19519397 11.250000 -11.183791
    Unten links KachelX 34815 KachelY + 1 34818 0.19625367 -0.19528802 11.244507 -11.189179
    Unten rechts KachelX + 1 34816 KachelY + 1 34818 0.19634954 -0.19528802 11.250000 -11.189179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19519397--0.19528802) × R
    9.40500000000122e-05 × 6371000     		dl = 599.192550000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19519397--0.19528802) × R
    9.40500000000122e-05 × 6371000     		dr = 599.192550000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19625367-0.19634954) × cos(-0.19519397) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981010066199381 × 6371000     		do = 599.188950681459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19625367-0.19634954) × cos(-0.19528802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980991820221289 × 6371000     		du = 599.177806261189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19519397)-sin(-0.19528802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981010066199381-0.980991820221289)×R²
    abs(0.19634954-0.19625367)×1.82459780913025e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82459780913025e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82459780913025e-05×40589641000000     		ar = 359026.216728503m²