Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34820 / 34812
↖ ↑ ↗
← S 11.156845°
E 11.271973°		 ← 599.24 m → S 11.156845°
E 11.277466°		 →
↑
599.32 m
↓
↑
599.32 m
↓
S 11.162235°
E 11.271973°		 ← 599.23 m →
359 136 m²		 S 11.162235°
E 11.277466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531318664550781 y=0.531196594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531318664550781 × 216)
    floor (0.531318664550781 × 65536)
    floor (34820.5)     		tx = 34820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531196594238281 × 216)
    floor (0.531196594238281 × 65536)
    floor (34812.5)     		ty = 34812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34820 / 34812 ti = "16/34820/34812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34820/34812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34820 ÷ 216
    34820 ÷ 65536     		x = 0.53131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34812 ÷ 216
    34812 ÷ 65536     		y = 0.53118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53131103515625 × 2 - 1) × π
    0.0626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19673304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.0623779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.19596604564679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19673304} λ = 0.19673304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19596604564679))-π/2
    2×atan(0.8220401460458)-π/2
    2×0.688036321306187-π/2
    1.37607264261237-1.57079632675     		φ = -0.19472368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19673304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19472368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.156845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34820 KachelY 34812 0.19673304 -0.19472368 11.271973 -11.156845
    Oben rechts KachelX + 1 34821 KachelY 34812 0.19682891 -0.19472368 11.277466 -11.156845
    Unten links KachelX 34820 KachelY + 1 34813 0.19673304 -0.19481775 11.271973 -11.162235
    Unten rechts KachelX + 1 34821 KachelY + 1 34813 0.19682891 -0.19481775 11.277466 -11.162235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19472368--0.19481775) × R
    9.40700000000017e-05 × 6371000     		dl = 599.31997000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19472368--0.19481775) × R
    9.40700000000017e-05 × 6371000     		dr = 599.31997000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19673304-0.19682891) × cos(-0.19472368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981101173664997 × 6371000     		do = 599.244598007213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19673304-0.19682891) × cos(-0.19481775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981082967207599 × 6371000     		du = 599.233477725699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19472368)-sin(-0.19481775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981101173664997-0.981082967207599)×R²
    abs(0.19682891-0.19673304)×1.8206457398029e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8206457398029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8206457398029e-05×40589641000000     		ar = 359135.922461801m²