Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34823 / 34825
↖ ↑ ↗
← S 11.226898°
E 11.288452°		 ← 599.10 m → S 11.226898°
E 11.293945°		 →
↑
599.13 m
↓
↑
599.13 m
↓
S 11.232286°
E 11.288452°		 ← 599.09 m →
358 935 m²		 S 11.232286°
E 11.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531364440917969 y=0.531394958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531364440917969 × 216)
    floor (0.531364440917969 × 65536)
    floor (34823.5)     		tx = 34823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531394958496094 × 216)
    floor (0.531394958496094 × 65536)
    floor (34825.5)     		ty = 34825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34823 / 34825 ti = "16/34823/34825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34823/34825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34823 ÷ 216
    34823 ÷ 65536     		x = 0.531356811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34825 ÷ 216
    34825 ÷ 65536     		y = 0.531387329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531356811523438 × 2 - 1) × π
    0.062713623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19702066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531387329101562 × 2 - 1) × π
    -0.062774658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.197212405036911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19702066} λ = 0.19702066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197212405036911))-π/2
    2×atan(0.821016226808944)-π/2
    2×0.687424992847239-π/2
    1.37484998569448-1.57079632675     		φ = -0.19594634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19702066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.288452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19594634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.226898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34823 KachelY 34825 0.19702066 -0.19594634 11.288452 -11.226898
    Oben rechts KachelX + 1 34824 KachelY 34825 0.19711653 -0.19594634 11.293945 -11.226898
    Unten links KachelX 34823 KachelY + 1 34826 0.19702066 -0.19604038 11.288452 -11.232286
    Unten rechts KachelX + 1 34824 KachelY + 1 34826 0.19711653 -0.19604038 11.293945 -11.232286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19594634--0.19604038) × R
    9.40399999999897e-05 × 6371000     		dl = 599.128839999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19594634--0.19604038) × R
    9.40399999999897e-05 × 6371000     		dr = 599.128839999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19702066-0.19711653) × cos(-0.19594634) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.980863861261054 × 6371000     		do = 599.099650493389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19702066-0.19711653) × cos(-0.19604038) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.980845547819987 × 6371000     		du = 599.088464867559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19594634)-sin(-0.19604038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980863861261054-0.980845547819987)×R²
    abs(0.19711653-0.19702066)×1.83134410672858e-05×R²
    9.58700000000257e-05×1.83134410672858e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×1.83134410672858e-05×40589641000000     		ar = 358934.528093512m²