Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34848 / 34848
↖ ↑ ↗
← S 11.350797°
E 11.425781°		 ← 598.90 m → S 11.350797°
E 11.431275°		 →
↑
598.81 m
↓
↑
598.81 m
↓
S 11.356182°
E 11.425781°		 ← 598.89 m →
358 626 m²		 S 11.356182°
E 11.431275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531745910644531 y=0.531745910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531745910644531 × 216)
    floor (0.531745910644531 × 65536)
    floor (34848.5)     		tx = 34848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531745910644531 × 216)
    floor (0.531745910644531 × 65536)
    floor (34848.5)     		ty = 34848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34848 / 34848 ti = "16/34848/34848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34848/34848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34848 ÷ 216
    34848 ÷ 65536     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34848 ÷ 216
    34848 ÷ 65536     		y = 0.53173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    -0.0634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.199417502419434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199417502419434))-π/2
    2×atan(0.819207800686835)-π/2
    2×0.686343775635154-π/2
    1.37268755127031-1.57079632675     		φ = -0.19810878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19810878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.350797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34848 KachelY 34848 0.19941750 -0.19810878 11.425781 -11.350797
    Oben rechts KachelX + 1 34849 KachelY 34848 0.19951338 -0.19810878 11.431275 -11.350797
    Unten links KachelX 34848 KachelY + 1 34849 0.19941750 -0.19820277 11.425781 -11.356182
    Unten rechts KachelX + 1 34849 KachelY + 1 34849 0.19951338 -0.19820277 11.431275 -11.356182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19810878--0.19820277) × R
    9.39899999999882e-05 × 6371000     		dl = 598.810289999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19810878--0.19820277) × R
    9.39899999999882e-05 × 6371000     		dr = 598.810289999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.19951338) × cos(-0.19810878) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980440552321094 × 6371000     		do = 598.903562437312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.19951338) × cos(-0.19820277) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980422049305832 × 6371000     		du = 598.892259843054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19810878)-sin(-0.19820277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980440552321094-0.980422049305832)×R²
    abs(0.19951338-0.19941750)×1.85030152618504e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.85030152618504e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.85030152618504e-05×40589641000000     		ar = 358626.232114226m²