Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34880 / 34879
↖ ↑ ↗
← S 11.517705°
E 11.601562°		 ← 598.55 m → S 11.517705°
E 11.607056°		 →
↑
598.56 m
↓
↑
598.56 m
↓
S 11.523088°
E 11.601562°		 ← 598.54 m →
358 262 m²		 S 11.523088°
E 11.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532234191894531 y=0.532218933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532234191894531 × 216)
    floor (0.532234191894531 × 65536)
    floor (34880.5)     		tx = 34880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532218933105469 × 216)
    floor (0.532218933105469 × 65536)
    floor (34879.5)     		ty = 34879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34880 / 34879 ti = "16/34880/34879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34880/34879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34880 ÷ 216
    34880 ÷ 65536     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34879 ÷ 216
    34879 ÷ 65536     		y = 0.532211303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532211303710938 × 2 - 1) × π
    -0.064422607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.202389590195877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.202389590195877))-π/2
    2×atan(0.816776657770704)-π/2
    2×0.684887226052202-π/2
    1.3697744521044-1.57079632675     		φ = -0.20102187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20102187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.517705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34880 KachelY 34879 0.20248546 -0.20102187 11.601562 -11.517705
    Oben rechts KachelX + 1 34881 KachelY 34879 0.20258134 -0.20102187 11.607056 -11.517705
    Unten links KachelX 34880 KachelY + 1 34880 0.20248546 -0.20111582 11.601562 -11.523088
    Unten rechts KachelX + 1 34881 KachelY + 1 34880 0.20258134 -0.20111582 11.607056 -11.523088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20102187--0.20111582) × R
    9.39500000000093e-05 × 6371000     		dl = 598.555450000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20102187--0.20111582) × R
    9.39500000000093e-05 × 6371000     		dr = 598.555450000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20258134) × cos(-0.20102187) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979863051945832 × 6371000     		do = 598.550795478382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20258134) × cos(-0.20111582) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979844288556578 × 6371000     		du = 598.539333834287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20102187)-sin(-0.20111582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979863051945832-0.979844288556578)×R²
    abs(0.20258134-0.20248546)×1.87633892544392e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.87633892544392e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.87633892544392e-05×40589641000000     		ar = 358262.410784164m²