Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35328 / 39424
↖ ↑ ↗
← S 34.307144°
E 14.062500°		 ← 504.53 m → S 34.307144°
E 14.067993°		 →
↑
504.52 m
↓
↑
504.52 m
↓
S 34.311681°
E 14.062500°		 ← 504.50 m →
254 537 m²		 S 34.311681°
E 14.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539070129394531 y=0.601570129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539070129394531 × 216)
    floor (0.539070129394531 × 65536)
    floor (35328.5)     		tx = 35328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601570129394531 × 216)
    floor (0.601570129394531 × 65536)
    floor (39424.5)     		ty = 39424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35328 / 39424 ti = "16/35328/39424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35328/39424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35328 ÷ 216
    35328 ÷ 65536     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39424 ÷ 216
    39424 ÷ 65536     		y = 0.6015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6015625 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638136007742187))-π/2
    2×atan(0.52827620963859)-π/2
    2×0.486011854781196-π/2
    0.972023709562392-1.57079632675     		φ = -0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35328 KachelY 39424 0.24543693 -0.59877262 14.062500 -34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 35329 KachelY 39424 0.24553280 -0.59877262 14.067993 -34.307144
    Unten links KachelX 35328 KachelY + 1 39425 0.24543693 -0.59885181 14.062500 -34.311681
    Unten rechts KachelX + 1 35329 KachelY + 1 39425 0.24553280 -0.59885181 14.067993 -34.311681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59877262--0.59885181) × R
    7.91900000000068e-05 × 6371000     		dl = 504.519490000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59877262--0.59885181) × R
    7.91900000000068e-05 × 6371000     		dr = 504.519490000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24553280) × cos(-0.59877262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 504.527814703788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24553280) × cos(-0.59885181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825983387572224 × 6371000     		du = 504.500551352273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59877262)-sin(-0.59885181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.825983387572224)×R²
    abs(0.24553280-0.24543693)×4.46363742919731e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46363742919731e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46363742919731e-05×40589641000000     		ar = 254537.238452317m²