Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35332 / 35332
↖ ↑ ↗
← S 13.944730°
E 14.084473°		 ← 592.85 m → S 13.944730°
E 14.089966°		 →
↑
592.82 m
↓
↑
592.82 m
↓
S 13.950061°
E 14.084473°		 ← 592.84 m →
351 450 m²		 S 13.950061°
E 14.089966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539131164550781 y=0.539131164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539131164550781 × 216)
    floor (0.539131164550781 × 65536)
    floor (35332.5)     		tx = 35332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.539131164550781 × 216)
    floor (0.539131164550781 × 65536)
    floor (35332.5)     		ty = 35332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35332 / 35332 ti = "16/35332/35332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35332/35332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35332 ÷ 216
    35332 ÷ 65536     		x = 0.53912353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35332 ÷ 216
    35332 ÷ 65536     		y = 0.53912353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53912353515625 × 2 - 1) × π
    0.0782470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24582042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53912353515625 × 2 - 1) × π
    -0.0782470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.245820421251648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24582042} λ = 0.24582042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.245820421251648))-π/2
    2×atan(0.782062654148613)-π/2
    2×0.663707437718906-π/2
    1.32741487543781-1.57079632675     		φ = -0.24338145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24582042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24338145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -13.944730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35332 KachelY 35332 0.24582042 -0.24338145 14.084473 -13.944730
    Oben rechts KachelX + 1 35333 KachelY 35332 0.24591630 -0.24338145 14.089966 -13.944730
    Unten links KachelX 35332 KachelY + 1 35333 0.24582042 -0.24347450 14.084473 -13.950061
    Unten rechts KachelX + 1 35333 KachelY + 1 35333 0.24591630 -0.24347450 14.089966 -13.950061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24338145--0.24347450) × R
    9.30500000000112e-05 × 6371000     		dl = 592.821550000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24338145--0.24347450) × R
    9.30500000000112e-05 × 6371000     		dr = 592.821550000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24582042-0.24591630) × cos(-0.24338145) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.970528643604623 × 6371000     		do = 592.848858328231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24582042-0.24591630) × cos(-0.24347450) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.970506215675145 × 6371000     		du = 592.835158194316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24338145)-sin(-0.24347450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970528643604623-0.970506215675145)×R²
    abs(0.24591630-0.24582042)×2.24279294780416e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.24279294780416e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.24279294780416e-05×40589641000000     		ar = 351449.51849619m²