Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35872 / 35872
↖ ↑ ↗
← S 16.804541°
E 17.050781°		 ← 584.77 m → S 16.804541°
E 17.056275°		 →
↑
584.73 m
↓
↑
584.73 m
↓
S 16.809800°
E 17.050781°		 ← 584.75 m →
341 926 m²		 S 16.809800°
E 17.056275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547370910644531 y=0.547370910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547370910644531 × 216)
    floor (0.547370910644531 × 65536)
    floor (35872.5)     		tx = 35872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547370910644531 × 216)
    floor (0.547370910644531 × 65536)
    floor (35872.5)     		ty = 35872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35872 / 35872 ti = "16/35872/35872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35872/35872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35872 ÷ 216
    35872 ÷ 65536     		x = 0.54736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35872 ÷ 216
    35872 ÷ 65536     		y = 0.54736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54736328125 × 2 - 1) × π
    0.0947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29759227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54736328125 × 2 - 1) × π
    -0.0947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.297592272841309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29759227} λ = 0.29759227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.297592272841309))-π/2
    2×atan(0.742604057872929)-π/2
    2×0.638750877866758-π/2
    1.27750175573352-1.57079632675     		φ = -0.29329457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29759227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29329457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.804541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35872 KachelY 35872 0.29759227 -0.29329457 17.050781 -16.804541
    Oben rechts KachelX + 1 35873 KachelY 35872 0.29768815 -0.29329457 17.056275 -16.804541
    Unten links KachelX 35872 KachelY + 1 35873 0.29759227 -0.29338635 17.050781 -16.809800
    Unten rechts KachelX + 1 35873 KachelY + 1 35873 0.29768815 -0.29338635 17.056275 -16.809800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29329457--0.29338635) × R
    9.17800000000413e-05 × 6371000     		dl = 584.730380000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29329457--0.29338635) × R
    9.17800000000413e-05 × 6371000     		dr = 584.730380000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29759227-0.29768815) × cos(-0.29329457) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.95729658711815 × 6371000     		do = 584.766037040026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29759227-0.29768815) × cos(-0.29338635) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.957270048784397 × 6371000     		du = 584.749826059576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29329457)-sin(-0.29338635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95729658711815-0.957270048784397)×R²
    abs(0.29768815-0.29759227)×2.65383337529901e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.65383337529901e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.65383337529901e-05×40589641000000     		ar = 341925.727763321m²