Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 36 / 32
↖ ↑ ↗
← N  0.000000°
E 22.500000°		 ← 625.471 km → N  0.000000°
E 28.125000°		 →
↑
624.469 km
↓
↑
624.469 km
↓
S  5.615986°
E 22.500000°		 ← 622.469 km →
389 962 km²		 S  5.615986°
E 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5703125 y=0.5078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5703125 × 26)
    floor (0.5703125 × 64)
    floor (36.5)     		tx = 36
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5078125 × 26)
    floor (0.5078125 × 64)
    floor (32.5)     		ty = 32
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 36 / 32 ti = "6/36/32"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/36/32.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36 ÷ 26
    36 ÷ 64     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32 ÷ 26
    32 ÷ 64     		y = 0.5
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Φ = 0
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0))-π/2
    2×atan(1)-π/2
    2×0.785398163397448-π/2
    1.5707963267949-1.57079632675     		φ = 0.00000000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00000000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.000000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36 KachelY 32 0.39269908 0.00000000 22.500000 0.000000
    Oben rechts KachelX + 1 37 KachelY 32 0.49087385 0.00000000 28.125000 0.000000
    Unten links KachelX 36 KachelY + 1 33 0.39269908 -0.09801744 22.500000 -5.615986
    Unten rechts KachelX + 1 37 KachelY + 1 33 0.49087385 -0.09801744 28.125000 -5.615986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00000000--0.09801744) × R
    0.09801744 × 6371000     		dl = 624469.11024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00000000--0.09801744) × R
    0.09801744 × 6371000     		dr = 624469.11024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.49087385) × cos(0.00000000) × R
    0.09817477 × 1 × 6371000     		do = 625471.45967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.49087385) × cos(-0.09801744) × R
    0.09817477 × 0.995200135433612 × 6371000     		du = 622469.281373443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00000000)-sin(-0.09801744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(1-0.995200135433612)×R²
    abs(0.49087385-0.39269908)×0.00479986456638803×R²
    0.09817477×0.00479986456638803×6371000²
    0.09817477×0.00479986456638803×40589641000000     		ar = 389962483165.658m²