Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3648 / 3648
↖ ↑ ↗
← N 19.311143°
W 19.687500°		 ← 4 611.56 m → N 19.311143°
W 19.643555°		 →
↑
4 612.09 m
↓
↑
4 612.09 m
↓
N 19.269666°
W 19.687500°		 ← 4 612.73 m →
21 271 659 m²		 N 19.269666°
W 19.643555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44537353515625 y=0.44537353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44537353515625 × 213)
    floor (0.44537353515625 × 8192)
    floor (3648.5)     		tx = 3648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44537353515625 × 213)
    floor (0.44537353515625 × 8192)
    floor (3648.5)     		ty = 3648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3648 / 3648 ti = "13/3648/3648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3648/3648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3648 ÷ 213
    3648 ÷ 8192     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3648 ÷ 213
    3648 ÷ 8192     		y = 0.4453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4453125 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343611696476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343611696476563))-π/2
    2×atan(1.41003100918292)-π/2
    2×0.953919680328065-π/2
    1.90783936065613-1.57079632675     		φ = 0.33704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.311143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3648 KachelY 3648 -0.34361170 0.33704303 -19.687500 19.311143
    Oben rechts KachelX + 1 3649 KachelY 3648 -0.34284471 0.33704303 -19.643555 19.311143
    Unten links KachelX 3648 KachelY + 1 3649 -0.34361170 0.33631911 -19.687500 19.269666
    Unten rechts KachelX + 1 3649 KachelY + 1 3649 -0.34284471 0.33631911 -19.643555 19.269666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33704303-0.33631911) × R
    0.000723920000000045 × 6371000     		dl = 4612.09432000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33704303-0.33631911) × R
    0.000723920000000045 × 6371000     		dr = 4612.09432000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34284471) × cos(0.33704303) × R
    0.000766990000000023 × 0.94373665385257 × 6371000     		do = 4611.56282657778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34284471) × cos(0.33631911) × R
    0.000766990000000023 × 0.943975805397719 × 6371000     		du = 4612.73143899844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33704303)-sin(0.33631911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94373665385257-0.943975805397719)×R²
    abs(-0.34284471--0.34361170)×0.000239151545148641×R²
    0.000766990000000023×0.000239151545148641×6371000²
    0.000766990000000023×0.000239151545148641×40589641000000     		ar = 21271658.5231067m²