Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36862 / 36870
↖ ↑ ↗
← S 21.973613°
E 22.489013°		 ← 566.48 m → S 21.973613°
E 22.494507°		 →
↑
566.45 m
↓
↑
566.45 m
↓
S 21.978707°
E 22.489013°		 ← 566.46 m →
320 873 m²		 S 21.978707°
E 22.494507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562477111816406 y=0.562599182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562477111816406 × 216)
    floor (0.562477111816406 × 65536)
    floor (36862.5)     		tx = 36862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562599182128906 × 216)
    floor (0.562599182128906 × 65536)
    floor (36870.5)     		ty = 36870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36862 / 36870 ti = "16/36862/36870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36862/36870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36862 ÷ 216
    36862 ÷ 65536     		x = 0.562469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36870 ÷ 216
    36870 ÷ 65536     		y = 0.562591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562469482421875 × 2 - 1) × π
    0.12493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39250733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.12518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.393274324482941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39250733} λ = 0.39250733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.393274324482941))-π/2
    2×atan(0.674843596070939)-π/2
    2×0.593642210963002-π/2
    1.187284421926-1.57079632675     		φ = -0.38351190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39250733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.489013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38351190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.973613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36862 KachelY 36870 0.39250733 -0.38351190 22.489013 -21.973613
    Oben rechts KachelX + 1 36863 KachelY 36870 0.39260321 -0.38351190 22.494507 -21.973613
    Unten links KachelX 36862 KachelY + 1 36871 0.39250733 -0.38360081 22.489013 -21.978707
    Unten rechts KachelX + 1 36863 KachelY + 1 36871 0.39260321 -0.38360081 22.494507 -21.978707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38351190--0.38360081) × R
    8.89099999999976e-05 × 6371000     		dl = 566.445609999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38351190--0.38360081) × R
    8.89099999999976e-05 × 6371000     		dr = 566.445609999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39250733-0.39260321) × cos(-0.38351190) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.927356275847997 × 6371000     		do = 566.476953588994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39250733-0.39260321) × cos(-0.38360081) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.927323003878642 × 6371000     		du = 566.456629357271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38351190)-sin(-0.38360081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927356275847997-0.927323003878642)×R²
    abs(0.39260321-0.39250733)×3.32719693553196e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.32719693553196e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.32719693553196e-05×40589641000000     		ar = 320872.627452051m²