Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36868 / 45060
↖ ↑ ↗
← S 55.788929°
E 22.521973°		 ← 343.41 m → S 55.788929°
E 22.527466°		 →
↑
343.40 m
↓
↑
343.40 m
↓
S 55.792017°
E 22.521973°		 ← 343.38 m →
117 922 m²		 S 55.792017°
E 22.527466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562568664550781 y=0.687568664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562568664550781 × 216)
    floor (0.562568664550781 × 65536)
    floor (36868.5)     		tx = 36868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687568664550781 × 216)
    floor (0.687568664550781 × 65536)
    floor (45060.5)     		ty = 45060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36868 / 45060 ti = "16/36868/45060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36868/45060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36868 ÷ 216
    36868 ÷ 65536     		x = 0.56256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45060 ÷ 216
    45060 ÷ 65536     		y = 0.68756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56256103515625 × 2 - 1) × π
    0.1251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39308258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.3751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17848074025946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39308258} λ = 0.39308258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17848074025946))-π/2
    2×atan(0.307745929620203)-π/2
    2×0.298547915203606-π/2
    0.597095830407213-1.57079632675     		φ = -0.97370050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39308258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.521973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97370050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.788929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36868 KachelY 45060 0.39308258 -0.97370050 22.521973 -55.788929
    Oben rechts KachelX + 1 36869 KachelY 45060 0.39317845 -0.97370050 22.527466 -55.788929
    Unten links KachelX 36868 KachelY + 1 45061 0.39308258 -0.97375440 22.521973 -55.792017
    Unten rechts KachelX + 1 36869 KachelY + 1 45061 0.39317845 -0.97375440 22.527466 -55.792017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97370050--0.97375440) × R
    5.39000000000511e-05 × 6371000     		dl = 343.396900000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97370050--0.97375440) × R
    5.39000000000511e-05 × 6371000     		dr = 343.396900000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39308258-0.39317845) × cos(-0.97370050) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562243178028038 × 6371000     		do = 343.411256905451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39308258-0.39317845) × cos(-0.97375440) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56219860342315 × 6371000     		du = 343.384031281933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97370050)-sin(-0.97375440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562243178028038-0.56219860342315)×R²
    abs(0.39317845-0.39308258)×4.4574604887937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4574604887937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4574604887937e-05×40589641000000     		ar = 117921.686477526m²