Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37380 / 37380
↖ ↑ ↗
← S 24.547123°
E 25.334473°		 ← 555.64 m → S 24.547123°
E 25.339966°		 →
↑
555.61 m
↓
↑
555.61 m
↓
S 24.552120°
E 25.334473°		 ← 555.62 m →
308 717 m²		 S 24.552120°
E 25.339966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570381164550781 y=0.570381164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570381164550781 × 216)
    floor (0.570381164550781 × 65536)
    floor (37380.5)     		tx = 37380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570381164550781 × 216)
    floor (0.570381164550781 × 65536)
    floor (37380.5)     		ty = 37380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37380 / 37380 ti = "16/37380/37380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37380/37380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37380 ÷ 216
    37380 ÷ 65536     		x = 0.57037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37380 ÷ 216
    37380 ÷ 65536     		y = 0.57037353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57037353515625 × 2 - 1) × π
    0.1407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44216996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57037353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1407470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.442169962095398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44216996} λ = 0.44216996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.442169962095398))-π/2
    2×atan(0.642640401663738)-π/2
    2×0.571184102713736-π/2
    1.14236820542747-1.57079632675     		φ = -0.42842812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44216996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42842812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.547123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37380 KachelY 37380 0.44216996 -0.42842812 25.334473 -24.547123
    Oben rechts KachelX + 1 37381 KachelY 37380 0.44226584 -0.42842812 25.339966 -24.547123
    Unten links KachelX 37380 KachelY + 1 37381 0.44216996 -0.42851533 25.334473 -24.552120
    Unten rechts KachelX + 1 37381 KachelY + 1 37381 0.44226584 -0.42851533 25.339966 -24.552120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42842812--0.42851533) × R
    8.72100000000042e-05 × 6371000     		dl = 555.614910000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42842812--0.42851533) × R
    8.72100000000042e-05 × 6371000     		dr = 555.614910000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44216996-0.44226584) × cos(-0.42842812) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.90961989734285 × 6371000     		do = 555.642660529607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44216996-0.44226584) × cos(-0.42851533) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.90958366323033 × 6371000     		du = 555.620526868347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42842812)-sin(-0.42851533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90961989734285-0.90958366323033)×R²
    abs(0.44226584-0.44216996)×3.62341125199617e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.62341125199617e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.62341125199617e-05×40589641000000     		ar = 308717.198121936m²