Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 376 / 408
↖ ↑ ↗
← S 72.395706°
E 84.375000°		 ← 23.646 km → S 72.395706°
E 85.078125°		 →
↑
23.508 km
↓
↑
23.508 km
↓
S 72.607120°
E 84.375000°		 ← 23.371 km →
552.643 km²		 S 72.607120°
E 85.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7353515625 y=0.7978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7353515625 × 29)
    floor (0.7353515625 × 512)
    floor (376.5)     		tx = 376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7978515625 × 29)
    floor (0.7978515625 × 512)
    floor (408.5)     		ty = 408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 376 / 408 ti = "9/376/408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/376/408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 376 ÷ 29
    376 ÷ 512     		x = 0.734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 408 ÷ 29
    408 ÷ 512     		y = 0.796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.734375 × 2 - 1) × π
    0.46875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47262156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796875 × 2 - 1) × π
    -0.59375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47262156} λ = 1.47262156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86532063801563))-π/2
    2×atan(0.154846552233033)-π/2
    2×0.15362644896359-π/2
    0.30725289792718-1.57079632675     		φ = -1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47262156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 376 KachelY 408 1.47262156 -1.26354343 84.375000 -72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 377 KachelY 408 1.48489340 -1.26354343 85.078125 -72.395706
    Unten links KachelX 376 KachelY + 1 409 1.47262156 -1.26723331 84.375000 -72.607120
    Unten rechts KachelX + 1 377 KachelY + 1 409 1.48489340 -1.26723331 85.078125 -72.607120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26354343--1.26723331) × R
    0.00368988000000003 × 6371000     		dl = 23508.2254800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26354343--1.26723331) × R
    0.00368988000000003 × 6371000     		dr = 23508.2254800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47262156-1.48489340) × cos(-1.26354343) × R
    0.0122718399999999 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 23646.0404791859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47262156-1.48489340) × cos(-1.26723331) × R
    0.0122718399999999 × 0.298922203589153 × 6371000     		du = 23370.9014731264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26354343)-sin(-1.26723331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.298922203589153)×R²
    abs(1.48489340-1.47262156)×0.00351912646926456×R²
    0.0122718399999999×0.00351912646926456×6371000²
    0.0122718399999999×0.00351912646926456×40589641000000     		ar = 552643063.427179m²