Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37887 / 37887
↖ ↑ ↗
← S 27.054234°
E 28.119507°		 ← 543.95 m → S 27.054234°
E 28.125000°		 →
↑
543.96 m
↓
↑
543.96 m
↓
S 27.059126°
E 28.119507°		 ← 543.93 m →
295 880 m²		 S 27.059126°
E 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578117370605469 y=0.578117370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578117370605469 × 216)
    floor (0.578117370605469 × 65536)
    floor (37887.5)     		tx = 37887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578117370605469 × 216)
    floor (0.578117370605469 × 65536)
    floor (37887.5)     		ty = 37887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37887 / 37887 ti = "16/37887/37887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37887/37887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37887 ÷ 216
    37887 ÷ 65536     		x = 0.578109741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37887 ÷ 216
    37887 ÷ 65536     		y = 0.578109741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578109741210938 × 2 - 1) × π
    0.156219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49077798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578109741210938 × 2 - 1) × π
    -0.156219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.490777978310135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49077798} λ = 0.49077798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490777978310135))-π/2
    2×atan(0.612149969485595)-π/2
    2×0.549305435119855-π/2
    1.09861087023971-1.57079632675     		φ = -0.47218546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49077798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.119507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47218546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.054234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37887 KachelY 37887 0.49077798 -0.47218546 28.119507 -27.054234
    Oben rechts KachelX + 1 37888 KachelY 37887 0.49087385 -0.47218546 28.125000 -27.054234
    Unten links KachelX 37887 KachelY + 1 37888 0.49077798 -0.47227084 28.119507 -27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 37888 KachelY + 1 37888 0.49087385 -0.47227084 28.125000 -27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47218546--0.47227084) × R
    8.53800000000238e-05 × 6371000     		dl = 543.955980000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47218546--0.47227084) × R
    8.53800000000238e-05 × 6371000     		dr = 543.955980000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49077798-0.49087385) × cos(-0.47218546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890576394952808 × 6371000     		do = 543.953170287853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49077798-0.49087385) × cos(-0.47227084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 543.929449155988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47218546)-sin(-0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890576394952808-0.890537558006442)×R²
    abs(0.49087385-0.49077798)×3.88369463665272e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88369463665272e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88369463665272e-05×40589641000000     		ar = 295880.12837215m²