Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38144 / 38144
↖ ↑ ↗
← S 28.304381°
E 29.531250°		 ← 537.82 m → S 28.304381°
E 29.536743°		 →
↑
537.71 m
↓
↑
537.71 m
↓
S 28.309217°
E 29.531250°		 ← 537.79 m →
289 185 m²		 S 28.309217°
E 29.536743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582038879394531 y=0.582038879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582038879394531 × 216)
    floor (0.582038879394531 × 65536)
    floor (38144.5)     		tx = 38144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582038879394531 × 216)
    floor (0.582038879394531 × 65536)
    floor (38144.5)     		ty = 38144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38144 / 38144 ti = "16/38144/38144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38144/38144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38144 ÷ 216
    38144 ÷ 65536     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38144 ÷ 216
    38144 ÷ 65536     		y = 0.58203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58203125 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515417544714844))-π/2
    2×atan(0.597251163480789)-π/2
    2×0.538395845576143-π/2
    1.07679169115229-1.57079632675     		φ = -0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38144 KachelY 38144 0.51541754 -0.49400464 29.531250 -28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 38145 KachelY 38144 0.51551342 -0.49400464 29.536743 -28.304381
    Unten links KachelX 38144 KachelY + 1 38145 0.51541754 -0.49408904 29.531250 -28.309217
    Unten rechts KachelX + 1 38145 KachelY + 1 38145 0.51551342 -0.49408904 29.536743 -28.309217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49400464--0.49408904) × R
    8.43999999999845e-05 × 6371000     		dl = 537.712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49400464--0.49408904) × R
    8.43999999999845e-05 × 6371000     		dr = 537.712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51551342) × cos(-0.49400464) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 537.818749813848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51551342) × cos(-0.49408904) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.88040107948923 × 6371000     		du = 537.794302399864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49400464)-sin(-0.49408904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.88040107948923)×R²
    abs(0.51551342-0.51541754)×4.00218625714599e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.00218625714599e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.00218625714599e-05×40589641000000     		ar = 289185.238059988m²