Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 383 / 383
↖ ↑ ↗
← S 66.231457°
E 89.296875°		 ← 31.511 km → S 66.231457°
E 90.000000°		 →
↑
31.335 km
↓
↑
31.335 km
↓
S 66.513260°
E 89.296875°		 ← 31.159 km →
981.897 km²		 S 66.513260°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7490234375 y=0.7490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7490234375 × 29)
    floor (0.7490234375 × 512)
    floor (383.5)     		tx = 383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7490234375 × 29)
    floor (0.7490234375 × 512)
    floor (383.5)     		ty = 383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 383 / 383 ti = "9/383/383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/383/383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 383 ÷ 29
    383 ÷ 512     		x = 0.748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 383 ÷ 29
    383 ÷ 512     		y = 0.748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748046875 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55852448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748046875 × 2 - 1) × π
    -0.49609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55852448044727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55852448} λ = 1.55852448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55852448044727))-π/2
    2×atan(0.210446359944815)-π/2
    2×0.207419662708105-π/2
    0.41483932541621-1.57079632675     		φ = -1.15595700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55852448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15595700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.231457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 383 KachelY 383 1.55852448 -1.15595700 89.296875 -66.231457
    Oben rechts KachelX + 1 384 KachelY 383 1.57079633 -1.15595700 90.000000 -66.231457
    Unten links KachelX 383 KachelY + 1 384 1.55852448 -1.16087539 89.296875 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 384 KachelY + 1 384 1.57079633 -1.16087539 90.000000 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15595700--1.16087539) × R
    0.00491839000000005 × 6371000     		dl = 31335.0626900003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15595700--1.16087539) × R
    0.00491839000000005 × 6371000     		dr = 31335.0626900003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55852448-1.57079633) × cos(-1.15595700) × R
    0.0122718500000001 × 0.403042890509652 × 6371000     		do = 31511.4877587847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55852448-1.57079633) × cos(-1.16087539) × R
    0.0122718500000001 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 31159.1850437543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15595700)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403042890509652-0.398536816226928)×R²
    abs(1.57079633-1.55852448)×0.00450607428272387×R²
    0.0122718500000001×0.00450607428272387×6371000²
    0.0122718500000001×0.00450607428272387×40589641000000     		ar = 981896709.932785m²