Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3842 / 3842
↖ ↑ ↗
← N 11.092166°
W 11.162109°		 ← 4 795.21 m → N 11.092166°
W 11.118164°		 →
↑
4 795.58 m
↓
↑
4 795.58 m
↓
N 11.049038°
W 11.162109°		 ← 4 795.91 m →
22 997 497 m²		 N 11.049038°
W 11.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46905517578125 y=0.46905517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46905517578125 × 213)
    floor (0.46905517578125 × 8192)
    floor (3842.5)     		tx = 3842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46905517578125 × 213)
    floor (0.46905517578125 × 8192)
    floor (3842.5)     		ty = 3842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3842 / 3842 ti = "13/3842/3842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3842/3842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3842 ÷ 213
    3842 ÷ 8192     		x = 0.468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3842 ÷ 213
    3842 ÷ 8192     		y = 0.468994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    0.06201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.194815560055908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19481556} λ = -0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.194815560055908))-π/2
    2×atan(1.21508685526934)-π/2
    2×0.882195571404231-π/2
    1.76439114280846-1.57079632675     		φ = 0.19359482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19359482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.092166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3842 KachelY 3842 -0.19481556 0.19359482 -11.162109 11.092166
    Oben rechts KachelX + 1 3843 KachelY 3842 -0.19404857 0.19359482 -11.118164 11.092166
    Unten links KachelX 3842 KachelY + 1 3843 -0.19481556 0.19284210 -11.162109 11.049038
    Unten rechts KachelX + 1 3843 KachelY + 1 3843 -0.19404857 0.19284210 -11.118164 11.049038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19359482-0.19284210) × R
    0.000752720000000012 × 6371000     		dl = 4795.57912000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19359482-0.19284210) × R
    0.000752720000000012 × 6371000     		dr = 4795.57912000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19481556--0.19404857) × cos(0.19359482) × R
    0.000766989999999995 × 0.981318977765296 × 6371000     		do = 4795.20860019975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19481556--0.19404857) × cos(0.19284210) × R
    0.000766989999999995 × 0.98146351389162 × 6371000     		du = 4795.91487501119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19359482)-sin(0.19284210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981318977765296-0.98146351389162)×R²
    abs(-0.19404857--0.19481556)×0.000144536126323369×R²
    0.000766989999999995×0.000144536126323369×6371000²
    0.000766989999999995×0.000144536126323369×40589641000000     		ar = 22997496.8233732m²