Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3844 / 3844
↖ ↑ ↗
← N 11.005904°
W 11.074219°		 ← 4 796.62 m → N 11.005904°
W 11.030274°		 →
↑
4 796.98 m
↓
↑
4 796.98 m
↓
N 10.962764°
W 11.074219°		 ← 4 797.32 m →
23 010 969 m²		 N 10.962764°
W 11.030274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46929931640625 y=0.46929931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46929931640625 × 213)
    floor (0.46929931640625 × 8192)
    floor (3844.5)     		tx = 3844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46929931640625 × 213)
    floor (0.46929931640625 × 8192)
    floor (3844.5)     		ty = 3844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3844 / 3844 ti = "13/3844/3844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3844/3844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3844 ÷ 213
    3844 ÷ 8192     		x = 0.46923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3844 ÷ 213
    3844 ÷ 8192     		y = 0.46923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    0.0615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.193281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19328158} λ = -0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.193281579268066))-π/2
    2×atan(1.21322436425573)-π/2
    2×0.881442798385229-π/2
    1.76288559677046-1.57079632675     		φ = 0.19208927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19208927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.005904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3844 KachelY 3844 -0.19328158 0.19208927 -11.074219 11.005904
    Oben rechts KachelX + 1 3845 KachelY 3844 -0.19251459 0.19208927 -11.030274 11.005904
    Unten links KachelX 3844 KachelY + 1 3845 -0.19328158 0.19133633 -11.074219 10.962764
    Unten rechts KachelX + 1 3845 KachelY + 1 3845 -0.19251459 0.19133633 -11.030274 10.962764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19208927-0.19133633) × R
    0.000752940000000007 × 6371000     		dl = 4796.98074000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19208927-0.19133633) × R
    0.000752940000000007 × 6371000     		dr = 4796.98074000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19328158--0.19251459) × cos(0.19208927) × R
    0.000766989999999995 × 0.981607514933233 × 6371000     		do = 4796.61853513479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19328158--0.19251459) × cos(0.19133633) × R
    0.000766989999999995 × 0.981750980564677 × 6371000     		du = 4797.31957898018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19208927)-sin(0.19133633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981607514933233-0.981750980564677)×R²
    abs(-0.19251459--0.19328158)×0.000143465631443851×R²
    0.000766989999999995×0.000143465631443851×6371000²
    0.000766989999999995×0.000143465631443851×40589641000000     		ar = 23010969.2641935m²