Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38911 / 30721
↖ ↑ ↗
← N 11.173013°
E 33.744507°		 ← 599.21 m → N 11.173013°
E 33.750000°		 →
↑
599.26 m
↓
↑
599.26 m
↓
N 11.167624°
E 33.744507°		 ← 599.22 m →
359 084 m²		 N 11.167624°
E 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593742370605469 y=0.468772888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593742370605469 × 216)
    floor (0.593742370605469 × 65536)
    floor (38911.5)     		tx = 38911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468772888183594 × 216)
    floor (0.468772888183594 × 65536)
    floor (30721.5)     		ty = 30721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38911 / 30721 ti = "16/38911/30721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38911/30721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38911 ÷ 216
    38911 ÷ 65536     		x = 0.593734741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30721 ÷ 216
    30721 ÷ 65536     		y = 0.468765258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593734741210938 × 2 - 1) × π
    0.187469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58895275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468765258789062 × 2 - 1) × π
    0.062469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.19625366704451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58895275} λ = 0.58895275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19625366704451))-π/2
    2×atan(1.21683553726218)-π/2
    2×0.882901094406081-π/2
    1.76580218881216-1.57079632675     		φ = 0.19500586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58895275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.744507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19500586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.173013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38911 KachelY 30721 0.58895275 0.19500586 33.744507 11.173013
    Oben rechts KachelX + 1 38912 KachelY 30721 0.58904862 0.19500586 33.750000 11.173013
    Unten links KachelX 38911 KachelY + 1 30722 0.58895275 0.19491180 33.744507 11.167624
    Unten rechts KachelX + 1 38912 KachelY + 1 30722 0.58904862 0.19491180 33.750000 11.167624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19500586-0.19491180) × R
    9.40600000000069e-05 × 6371000     		dl = 599.256260000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19500586-0.19491180) × R
    9.40600000000069e-05 × 6371000     		dr = 599.256260000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58895275-0.58904862) × cos(0.19500586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981046534060838 × 6371000     		do = 599.211224805235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58895275-0.58904862) × cos(0.19491180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981064755942036 × 6371000     		du = 599.222354507417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19500586)-sin(0.19491180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981046534060838-0.981064755942036)×R²
    abs(0.58904862-0.58895275)×1.82218811981549e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82218811981549e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82218811981549e-05×40589641000000     		ar = 359084.412563483m²