Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38944 / 38944
↖ ↑ ↗
← S 32.101189°
E 33.925781°		 ← 517.46 m → S 32.101189°
E 33.931275°		 →
↑
517.45 m
↓
↑
517.45 m
↓
S 32.105843°
E 33.925781°		 ← 517.43 m →
267 754 m²		 S 32.105843°
E 33.931275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594245910644531 y=0.594245910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594245910644531 × 216)
    floor (0.594245910644531 × 65536)
    floor (38944.5)     		tx = 38944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594245910644531 × 216)
    floor (0.594245910644531 × 65536)
    floor (38944.5)     		ty = 38944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38944 / 38944 ti = "16/38944/38944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38944/38944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38944 ÷ 216
    38944 ÷ 65536     		x = 0.59423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38944 ÷ 216
    38944 ÷ 65536     		y = 0.59423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.592116584106934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59211658} λ = 0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592116584106934))-π/2
    2×atan(0.553155245211266)-π/2
    2×0.505262436086418-π/2
    1.01052487217284-1.57079632675     		φ = -0.56027145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56027145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.101189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38944 KachelY 38944 0.59211658 -0.56027145 33.925781 -32.101189
    Oben rechts KachelX + 1 38945 KachelY 38944 0.59221246 -0.56027145 33.931275 -32.101189
    Unten links KachelX 38944 KachelY + 1 38945 0.59211658 -0.56035267 33.925781 -32.105843
    Unten rechts KachelX + 1 38945 KachelY + 1 38945 0.59221246 -0.56035267 33.931275 -32.105843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56027145--0.56035267) × R
    8.1219999999993e-05 × 6371000     		dl = 517.452619999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56027145--0.56035267) × R
    8.1219999999993e-05 × 6371000     		dr = 517.452619999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59211658-0.59221246) × cos(-0.56027145) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.847110889306722 × 6371000     		do = 517.458940457387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59211658-0.59221246) × cos(-0.56035267) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.847067724891724 × 6371000     		du = 517.432573410602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56027145)-sin(-0.56035267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847110889306722-0.847067724891724)×R²
    abs(0.59221246-0.59211658)×4.31644149978538e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.31644149978538e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.31644149978538e-05×40589641000000     		ar = 267753.662780934m²