Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 391 / 393
↖ ↑ ↗
← S 68.911005°
E 94.921875°		 ← 28.132 km → S 68.911005°
E 95.625000°		 →
↑
27.971 km
↓
↑
27.971 km
↓
S 69.162558°
E 94.921875°		 ← 27.811 km →
782.408 km²		 S 69.162558°
E 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7646484375 y=0.7685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7646484375 × 29)
    floor (0.7646484375 × 512)
    floor (391.5)     		tx = 391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7685546875 × 29)
    floor (0.7685546875 × 512)
    floor (393.5)     		ty = 393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 391 / 393 ti = "9/391/393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/391/393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 391 ÷ 29
    391 ÷ 512     		x = 0.763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 393 ÷ 29
    393 ÷ 512     		y = 0.767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763671875 × 2 - 1) × π
    0.52734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65669925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767578125 × 2 - 1) × π
    -0.53515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68124294347461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65669925} λ = 1.65669925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68124294347461))-π/2
    2×atan(0.186142467627794)-π/2
    2×0.184036200699174-π/2
    0.368072401398348-1.57079632675     		φ = -1.20272393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65669925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20272393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.911005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 391 KachelY 393 1.65669925 -1.20272393 94.921875 -68.911005
    Oben rechts KachelX + 1 392 KachelY 393 1.66897110 -1.20272393 95.625000 -68.911005
    Unten links KachelX 391 KachelY + 1 394 1.65669925 -1.20711435 94.921875 -69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 392 KachelY + 1 394 1.66897110 -1.20711435 95.625000 -69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20272393--1.20711435) × R
    0.00439041999999978 × 6371000     		dl = 27971.3658199986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20272393--1.20711435) × R
    0.00439041999999978 × 6371000     		dr = 27971.3658199986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65669925-1.66897110) × cos(-1.20272393) × R
    0.0122718500000001 × 0.359817604079576 × 6371000     		do = 28131.9638513193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65669925-1.66897110) × cos(-1.20711435) × R
    0.0122718500000001 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 27811.4240096185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20272393)-sin(-1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359817604079576-0.355717787996262)×R²
    abs(1.66897110-1.65669925)×0.0040998160833135×R²
    0.0122718500000001×0.0040998160833135×6371000²
    0.0122718500000001×0.0040998160833135×40589641000000     		ar = 782407740.328377m²