Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 394 / 394
↖ ↑ ↗
← S 69.162558°
E 97.031250°		 ← 27.811 km → S 69.162558°
E 97.734375°		 →
↑
27.652 km
↓
↑
27.652 km
↓
S 69.411243°
E 97.031250°		 ← 27.494 km →
764.668 km²		 S 69.411243°
E 97.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7705078125 y=0.7705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7705078125 × 29)
    floor (0.7705078125 × 512)
    floor (394.5)     		tx = 394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7705078125 × 29)
    floor (0.7705078125 × 512)
    floor (394.5)     		ty = 394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 394 / 394 ti = "9/394/394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/394/394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 394 ÷ 29
    394 ÷ 512     		x = 0.76953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 394 ÷ 29
    394 ÷ 512     		y = 0.76953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76953125 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69351479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76953125 × 2 - 1) × π
    -0.5390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69351478977734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69351479} λ = 1.69351479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69351478977734))-π/2
    2×atan(0.183872115075954)-π/2
    2×0.18184098610722-π/2
    0.363681972214441-1.57079632675     		φ = -1.20711435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69351479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20711435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.162558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 394 KachelY 394 1.69351479 -1.20711435 97.031250 -69.162558
    Oben rechts KachelX + 1 395 KachelY 394 1.70578664 -1.20711435 97.734375 -69.162558
    Unten links KachelX 394 KachelY + 1 395 1.69351479 -1.21145472 97.031250 -69.411243
    Unten rechts KachelX + 1 395 KachelY + 1 395 1.70578664 -1.21145472 97.734375 -69.411243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20711435--1.21145472) × R
    0.0043403700000002 × 6371000     		dl = 27652.4972700013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20711435--1.21145472) × R
    0.0043403700000002 × 6371000     		dr = 27652.4972700013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69351479-1.70578664) × cos(-1.20711435) × R
    0.0122718499999999 × 0.355717787996262 × 6371000     		do = 27811.424009618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69351479-1.70578664) × cos(-1.21145472) × R
    0.0122718499999999 × 0.351657968858022 × 6371000     		du = 27494.0112873249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20711435)-sin(-1.21145472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355717787996262-0.351657968858022)×R²
    abs(1.70578664-1.69351479)×0.00405981913824049×R²
    0.0122718499999999×0.00405981913824049×6371000²
    0.0122718499999999×0.00405981913824049×40589641000000     		ar = 764667899.735744m²