Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3967 / 3969
↖ ↑ ↗
← N  5.572250°
W  5.668945°		 ← 4 863.40 m → N  5.572250°
W  5.625000°		 →
↑
4 863.62 m
↓
↑
4 863.62 m
↓
N  5.528510°
W  5.668945°		 ← 4 863.76 m →
23 654 626 m²		 N  5.528510°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48431396484375 y=0.48455810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48431396484375 × 213)
    floor (0.48431396484375 × 8192)
    floor (3967.5)     		tx = 3967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48455810546875 × 213)
    floor (0.48455810546875 × 8192)
    floor (3969.5)     		ty = 3969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3967 / 3969 ti = "13/3967/3969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3967/3969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3967 ÷ 213
    3967 ÷ 8192     		x = 0.4842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3969 ÷ 213
    3969 ÷ 8192     		y = 0.4844970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09894176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4844970703125 × 2 - 1) × π
    0.031005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0974077800279541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09894176} λ = -0.09894176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0974077800279541))-π/2
    2×atan(1.1023097818986)-π/2
    2×0.834025216282581-π/2
    1.66805043256516-1.57079632675     		φ = 0.09725411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09894176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09725411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.572250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3967 KachelY 3969 -0.09894176 0.09725411 -5.668945 5.572250
    Oben rechts KachelX + 1 3968 KachelY 3969 -0.09817477 0.09725411 -5.625000 5.572250
    Unten links KachelX 3967 KachelY + 1 3970 -0.09894176 0.09649071 -5.668945 5.528510
    Unten rechts KachelX + 1 3968 KachelY + 1 3970 -0.09817477 0.09649071 -5.625000 5.528510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09725411-0.09649071) × R
    0.000763400000000011 × 6371000     		dl = 4863.62140000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09725411-0.09649071) × R
    0.000763400000000011 × 6371000     		dr = 4863.62140000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09894176--0.09817477) × cos(0.09725411) × R
    0.000766990000000009 × 0.995274545394462 × 6371000     		do = 4863.4023877779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09894176--0.09817477) × cos(0.09649071) × R
    0.000766990000000009 × 0.99534838217992 × 6371000     		du = 4863.76319073459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09725411)-sin(0.09649071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995274545394462-0.99534838217992)×R²
    abs(-0.09817477--0.09894176)×7.38367854585809e-05×R²
    0.000766990000000009×7.38367854585809e-05×6371000²
    0.000766990000000009×7.38367854585809e-05×40589641000000     		ar = 23654626.4832852m²