Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3970 / 4226
↖ ↑ ↗
← S  5.703448°
W  5.537109°		 ← 4 862.30 m → S  5.703448°
W  5.493164°		 →
↑
4 862.09 m
↓
↑
4 862.09 m
↓
S  5.747174°
W  5.537109°		 ← 4 861.93 m →
23 640 064 m²		 S  5.747174°
W  5.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48468017578125 y=0.51593017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48468017578125 × 213)
    floor (0.48468017578125 × 8192)
    floor (3970.5)     		tx = 3970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51593017578125 × 213)
    floor (0.51593017578125 × 8192)
    floor (4226.5)     		ty = 4226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3970 / 4226 ti = "13/3970/4226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3970/4226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3970 ÷ 213
    3970 ÷ 8192     		x = 0.484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4226 ÷ 213
    4226 ÷ 8192     		y = 0.515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.03173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09664079} λ = -0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0997087512097168))-π/2
    2×atan(0.905100989219897)-π/2
    2×0.735626190396498-π/2
    1.471252380793-1.57079632675     		φ = -0.09954395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09954395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.703448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3970 KachelY 4226 -0.09664079 -0.09954395 -5.537109 -5.703448
    Oben rechts KachelX + 1 3971 KachelY 4226 -0.09587380 -0.09954395 -5.493164 -5.703448
    Unten links KachelX 3970 KachelY + 1 4227 -0.09664079 -0.10030711 -5.537109 -5.747174
    Unten rechts KachelX + 1 3971 KachelY + 1 4227 -0.09587380 -0.10030711 -5.493164 -5.747174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09954395--0.10030711) × R
    0.000763159999999999 × 6371000     		dl = 4862.09235999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09954395--0.10030711) × R
    0.000763159999999999 × 6371000     		dr = 4862.09235999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09664079--0.09587380) × cos(-0.09954395) × R
    0.000766990000000009 × 0.995049590834831 × 6371000     		do = 4862.3031488317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09664079--0.09587380) × cos(-0.10030711) × R
    0.000766990000000009 × 0.994973458515241 × 6371000     		du = 4861.93112876287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09954395)-sin(-0.10030711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995049590834831-0.994973458515241)×R²
    abs(-0.09587380--0.09664079)×7.61323195902497e-05×R²
    0.000766990000000009×7.61323195902497e-05×6371000²
    0.000766990000000009×7.61323195902497e-05×40589641000000     		ar = 23640063.7413286m²