Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39936 / 35840
↖ ↑ ↗
← S 16.636192°
E 39.375000°		 ← 585.28 m → S 16.636192°
E 39.380493°		 →
↑
585.24 m
↓
↑
585.24 m
↓
S 16.641455°
E 39.375000°		 ← 585.27 m →
342 526 m²		 S 16.641455°
E 39.380493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609382629394531 y=0.546882629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609382629394531 × 216)
    floor (0.609382629394531 × 65536)
    floor (39936.5)     		tx = 39936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546882629394531 × 216)
    floor (0.546882629394531 × 65536)
    floor (35840.5)     		ty = 35840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39936 / 35840 ti = "16/39936/35840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39936/35840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39936 ÷ 216
    39936 ÷ 65536     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35840 ÷ 216
    35840 ÷ 65536     		y = 0.546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546875 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Φ = -0.294524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294524311265625))-π/2
    2×atan(0.74488583700403)-π/2
    2×0.640220001765692-π/2
    1.28044000353138-1.57079632675     		φ = -0.29035632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29035632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.636192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39936 KachelY 35840 0.68722339 -0.29035632 39.375000 -16.636192
    Oben rechts KachelX + 1 39937 KachelY 35840 0.68731927 -0.29035632 39.380493 -16.636192
    Unten links KachelX 39936 KachelY + 1 35841 0.68722339 -0.29044818 39.375000 -16.641455
    Unten rechts KachelX + 1 39937 KachelY + 1 35841 0.68731927 -0.29044818 39.380493 -16.641455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29035632--0.29044818) × R
    9.18599999999992e-05 × 6371000     		dl = 585.240059999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29035632--0.29044818) × R
    9.18599999999992e-05 × 6371000     		dr = 585.240059999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.68731927) × cos(-0.29035632) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.958141924186794 × 6371000     		do = 585.282412439845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.68731927) × cos(-0.29044818) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.958115621209764 × 6371000     		du = 585.266345227398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29035632)-sin(-0.29044818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958141924186794-0.958115621209764)×R²
    abs(0.68731927-0.68722339)×2.63029770304346e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.63029770304346e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.63029770304346e-05×40589641000000     		ar = 342526.012826017m²