Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4064 / 4065
↖ ↑ ↗
← N  1.362176°
W  1.406250°		 ← 4 885.11 m → N  1.362176°
W  1.362305°		 →
↑
4 885.16 m
↓
↑
4 885.16 m
↓
N  1.318243°
W  1.406250°		 ← 4 885.20 m →
23 864 748 m²		 N  1.318243°
W  1.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49615478515625 y=0.49627685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49615478515625 × 213)
    floor (0.49615478515625 × 8192)
    floor (4064.5)     		tx = 4064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49627685546875 × 213)
    floor (0.49627685546875 × 8192)
    floor (4065.5)     		ty = 4065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4064 / 4065 ti = "13/4064/4065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4064/4065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4064 ÷ 213
    4064 ÷ 8192     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4065 ÷ 213
    4065 ÷ 8192     		y = 0.4962158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4962158203125 × 2 - 1) × π
    0.007568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0237767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0237767022115479))-π/2
    2×atan(1.02406162166253)-π/2
    2×0.797285394518147-π/2
    1.59457078903629-1.57079632675     		φ = 0.02377446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02377446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.362176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4064 KachelY 4065 -0.02454369 0.02377446 -1.406250 1.362176
    Oben rechts KachelX + 1 4065 KachelY 4065 -0.02377670 0.02377446 -1.362305 1.362176
    Unten links KachelX 4064 KachelY + 1 4066 -0.02454369 0.02300768 -1.406250 1.318243
    Unten rechts KachelX + 1 4065 KachelY + 1 4066 -0.02377670 0.02300768 -1.362305 1.318243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02377446-0.02300768) × R
    0.000766780000000002 × 6371000     		dl = 4885.15538000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02377446-0.02300768) × R
    0.000766780000000002 × 6371000     		dr = 4885.15538000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02377670) × cos(0.02377446) × R
    0.000766989999999999 × 0.999717400837238 × 6371000     		do = 4885.1123710874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02377670) × cos(0.02300768) × R
    0.000766989999999999 × 0.999735335005926 × 6371000     		du = 4885.20000628235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02377446)-sin(0.02300768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999717400837238-0.999735335005926)×R²
    abs(-0.02377670--0.02454369)×1.79341686875611e-05×R²
    0.000766989999999999×1.79341686875611e-05×6371000²
    0.000766989999999999×1.79341686875611e-05×40589641000000     		ar = 23864748.2065707m²