Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4066 / 4066
↖ ↑ ↗
← N  1.318243°
W  1.318359°		 ← 4 885.20 m → N  1.318243°
W  1.274414°		 →
↑
4 885.22 m
↓
↑
4 885.22 m
↓
N  1.274309°
W  1.318359°		 ← 4 885.28 m →
23 865 481 m²		 N  1.274309°
W  1.274414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49639892578125 y=0.49639892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49639892578125 × 213)
    floor (0.49639892578125 × 8192)
    floor (4066.5)     		tx = 4066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49639892578125 × 213)
    floor (0.49639892578125 × 8192)
    floor (4066.5)     		ty = 4066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4066 / 4066 ti = "13/4066/4066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4066/4066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4066 ÷ 213
    4066 ÷ 8192     		x = 0.496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4066 ÷ 213
    4066 ÷ 8192     		y = 0.496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.00732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02300971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496337890625 × 2 - 1) × π
    0.00732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.023009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02300971} λ = -0.02300971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.023009711817627))-π/2
    2×atan(1.02327647737349)-π/2
    2×0.796902004239018-π/2
    1.59380400847804-1.57079632675     		φ = 0.02300768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02300971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.318359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02300768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.318243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4066 KachelY 4066 -0.02300971 0.02300768 -1.318359 1.318243
    Oben rechts KachelX + 1 4067 KachelY 4066 -0.02224272 0.02300768 -1.274414 1.318243
    Unten links KachelX 4066 KachelY + 1 4067 -0.02300971 0.02224089 -1.318359 1.274309
    Unten rechts KachelX + 1 4067 KachelY + 1 4067 -0.02224272 0.02224089 -1.274414 1.274309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02300768-0.02224089) × R
    0.00076679 × 6371000     		dl = 4885.21909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02300768-0.02224089) × R
    0.00076679 × 6371000     		dr = 4885.21909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02300971--0.02224272) × cos(0.02300768) × R
    0.000766989999999999 × 0.999735335005926 × 6371000     		do = 4885.20000628235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02300971--0.02224272) × cos(0.02224089) × R
    0.000766989999999999 × 0.999752681601075 × 6371000     		du = 4885.28477030315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02300768)-sin(0.02224089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999735335005926-0.999752681601075)×R²
    abs(-0.02224272--0.02300971)×1.73465951487373e-05×R²
    0.000766989999999999×1.73465951487373e-05×6371000²
    0.000766989999999999×1.73465951487373e-05×40589641000000     		ar = 23865480.5439077m²