Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4066 / 4194
↖ ↑ ↗
← S  4.302591°
W  1.318359°		 ← 4 872.72 m → S  4.302591°
W  1.274414°		 →
↑
4 872.60 m
↓
↑
4 872.60 m
↓
S  4.346411°
W  1.318359°		 ← 4 872.44 m →
23 742 161 m²		 S  4.346411°
W  1.274414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49639892578125 y=0.51202392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49639892578125 × 213)
    floor (0.49639892578125 × 8192)
    floor (4066.5)     		tx = 4066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51202392578125 × 213)
    floor (0.51202392578125 × 8192)
    floor (4194.5)     		ty = 4194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4066 / 4194 ti = "13/4066/4194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4066/4194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4066 ÷ 213
    4066 ÷ 8192     		x = 0.496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4194 ÷ 213
    4194 ÷ 8192     		y = 0.511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.00732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02300971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.02392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.075165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02300971} λ = -0.02300971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.075165058604248))-π/2
    2×atan(0.927590366920785)-π/2
    2×0.747850973067186-π/2
    1.49570194613437-1.57079632675     		φ = -0.07509438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02300971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.318359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07509438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.302591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4066 KachelY 4194 -0.02300971 -0.07509438 -1.318359 -4.302591
    Oben rechts KachelX + 1 4067 KachelY 4194 -0.02224272 -0.07509438 -1.274414 -4.302591
    Unten links KachelX 4066 KachelY + 1 4195 -0.02300971 -0.07585919 -1.318359 -4.346411
    Unten rechts KachelX + 1 4067 KachelY + 1 4195 -0.02224272 -0.07585919 -1.274414 -4.346411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07509438--0.07585919) × R
    0.000764810000000005 × 6371000     		dl = 4872.60451000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07509438--0.07585919) × R
    0.000764810000000005 × 6371000     		dr = 4872.60451000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02300971--0.02224272) × cos(-0.07509438) × R
    0.000766989999999999 × 0.997181741805174 × 6371000     		do = 4872.72189024149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02300971--0.02224272) × cos(-0.07585919) × R
    0.000766989999999999 × 0.997124071198849 × 6371000     		du = 4872.44008321065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07509438)-sin(-0.07585919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997181741805174-0.997124071198849)×R²
    abs(-0.02224272--0.02300971)×5.76706063247778e-05×R²
    0.000766989999999999×5.76706063247778e-05×6371000²
    0.000766989999999999×5.76706063247778e-05×40589641000000     		ar = 23742161.2485624m²