Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 408 / 376
↖ ↑ ↗
← S 64.168107°
E106.875000°		 ← 34.067 km → S 64.168107°
E107.578125°		 →
↑
33.880 km
↓
↑
33.880 km
↓
S 64.472794°
E106.875000°		 ← 33.693 km →
1 147.84 km²		 S 64.472794°
E107.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7978515625 y=0.7353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7978515625 × 29)
    floor (0.7978515625 × 512)
    floor (408.5)     		tx = 408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7353515625 × 29)
    floor (0.7353515625 × 512)
    floor (376.5)     		ty = 376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 408 / 376 ti = "9/408/376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/408/376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 408 ÷ 29
    408 ÷ 512     		x = 0.796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 376 ÷ 29
    376 ÷ 512     		y = 0.734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.796875 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Λ = 1.86532064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734375 × 2 - 1) × π
    -0.46875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.86532064} λ = 1.86532064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47262155632813))-π/2
    2×atan(0.229323511974136)-π/2
    2×0.2254257933358-π/2
    0.4508515866716-1.57079632675     		φ = -1.11994474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.86532064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11994474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.168107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 408 KachelY 376 1.86532064 -1.11994474 106.875000 -64.168107
    Oben rechts KachelX + 1 409 KachelY 376 1.87759248 -1.11994474 107.578125 -64.168107
    Unten links KachelX 408 KachelY + 1 377 1.86532064 -1.12526253 106.875000 -64.472794
    Unten rechts KachelX + 1 409 KachelY + 1 377 1.87759248 -1.12526253 107.578125 -64.472794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11994474--1.12526253) × R
    0.0053177900000001 × 6371000     		dl = 33879.6400900006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11994474--1.12526253) × R
    0.0053177900000001 × 6371000     		dr = 33879.6400900006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.86532064-1.87759248) × cos(-1.11994474) × R
    0.0122718399999999 × 0.435732185161907 × 6371000     		do = 34067.2383844909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.86532064-1.87759248) × cos(-1.12526253) × R
    0.0122718399999999 × 0.430939629631134 × 6371000     		du = 33692.5377374017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11994474)-sin(-1.12526253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435732185161907-0.430939629631134)×R²
    abs(1.87759248-1.86532064)×0.00479255553077274×R²
    0.0122718399999999×0.00479255553077274×6371000²
    0.0122718399999999×0.00479255553077274×40589641000000     		ar = 1147841118.76842m²