Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4094 / 4090
↖ ↑ ↗
← N  0.263671°
W  0.087891°		 ← 4 886.44 m → N  0.263671°
W  0.043945°		 →
↑
4 886.49 m
↓
↑
4 886.49 m
↓
N  0.219726°
W  0.087891°		 ← 4 886.46 m →
23 877 604 m²		 N  0.219726°
W  0.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49981689453125 y=0.49932861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49981689453125 × 213)
    floor (0.49981689453125 × 8192)
    floor (4094.5)     		tx = 4094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49932861328125 × 213)
    floor (0.49932861328125 × 8192)
    floor (4090.5)     		ty = 4090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4094 / 4090 ti = "13/4094/4090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4094/4090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4094 ÷ 213
    4094 ÷ 8192     		x = 0.499755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4090 ÷ 213
    4090 ÷ 8192     		y = 0.499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499755859375 × 2 - 1) × π
    -0.00048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00153398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00153398} λ = -0.00153398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00460194236352539))-π/2
    2×atan(1.00461254756221)-π/2
    2×0.787699126457641-π/2
    1.57539825291528-1.57079632675     		φ = 0.00460193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00153398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00460193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.263671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4094 KachelY 4090 -0.00153398 0.00460193 -0.087891 0.263671
    Oben rechts KachelX + 1 4095 KachelY 4090 -0.00076699 0.00460193 -0.043945 0.263671
    Unten links KachelX 4094 KachelY + 1 4091 -0.00153398 0.00383494 -0.087891 0.219726
    Unten rechts KachelX + 1 4095 KachelY + 1 4091 -0.00076699 0.00383494 -0.043945 0.219726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00460193-0.00383494) × R
    0.00076699 × 6371000     		dl = 4886.49329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00460193-0.00383494) × R
    0.00076699 × 6371000     		dr = 4886.49329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00153398--0.00076699) × cos(0.00460193) × R
    0.00076699 × 0.999989411138825 × 6371000     		do = 4886.44154760092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00153398--0.00076699) × cos(0.00383494) × R
    0.00076699 × 0.99999264662661 × 6371000     		du = 4886.45735779027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00460193)-sin(0.00383494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989411138825-0.99999264662661)×R²
    abs(-0.00076699--0.00153398)×3.23548778535798e-06×R²
    0.00076699×3.23548778535798e-06×6371000²
    0.00076699×3.23548778535798e-06×40589641000000     		ar = 23877603.6330683m²