Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40978 / 40978
↖ ↑ ↗
← S 41.054502°
E 45.098877°		 ← 460.63 m → S 41.054502°
E 45.104370°		 →
↑
460.62 m
↓
↑
460.62 m
↓
S 41.058644°
E 45.098877°		 ← 460.61 m →
212 172 m²		 S 41.058644°
E 45.104370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625282287597656 y=0.625282287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625282287597656 × 216)
    floor (0.625282287597656 × 65536)
    floor (40978.5)     		tx = 40978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625282287597656 × 216)
    floor (0.625282287597656 × 65536)
    floor (40978.5)     		ty = 40978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40978 / 40978 ti = "16/40978/40978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40978/40978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40978 ÷ 216
    40978 ÷ 65536     		x = 0.625274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40978 ÷ 216
    40978 ÷ 65536     		y = 0.625274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625274658203125 × 2 - 1) × π
    0.25054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78712389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.25054931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.787123891761322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78712389} λ = 0.78712389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787123891761322))-π/2
    2×atan(0.455151980939782)-π/2
    2×0.427130047392983-π/2
    0.854260094785966-1.57079632675     		φ = -0.71653623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78712389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.098877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71653623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.054502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40978 KachelY 40978 0.78712389 -0.71653623 45.098877 -41.054502
    Oben rechts KachelX + 1 40979 KachelY 40978 0.78721977 -0.71653623 45.104370 -41.054502
    Unten links KachelX 40978 KachelY + 1 40979 0.78712389 -0.71660853 45.098877 -41.058644
    Unten rechts KachelX + 1 40979 KachelY + 1 40979 0.78721977 -0.71660853 45.104370 -41.058644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71653623--0.71660853) × R
    7.23000000000251e-05 × 6371000     		dl = 460.62330000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71653623--0.71660853) × R
    7.23000000000251e-05 × 6371000     		dr = 460.62330000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78712389-0.78721977) × cos(-0.71653623) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754085171452822 × 6371000     		do = 460.634043027708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78712389-0.78721977) × cos(-0.71660853) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754037684530916 × 6371000     		du = 460.605035571181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71653623)-sin(-0.71660853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754085171452822-0.754037684530916)×R²
    abs(0.78721977-0.78712389)×4.74869219055929e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74869219055929e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74869219055929e-05×40589641000000     		ar = 212172.092329158m²