Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40996 / 40996
↖ ↑ ↗
← S 41.129021°
E 45.197754°		 ← 460.06 m → S 41.129021°
E 45.203247°		 →
↑
460.05 m
↓
↑
460.05 m
↓
S 41.133159°
E 45.197754°		 ← 460.03 m →
211 646 m²		 S 41.133159°
E 45.203247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625556945800781 y=0.625556945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625556945800781 × 216)
    floor (0.625556945800781 × 65536)
    floor (40996.5)     		tx = 40996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625556945800781 × 216)
    floor (0.625556945800781 × 65536)
    floor (40996.5)     		ty = 40996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40996 / 40996 ti = "16/40996/40996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40996/40996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40996 ÷ 216
    40996 ÷ 65536     		x = 0.62554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40996 ÷ 216
    40996 ÷ 65536     		y = 0.62554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62554931640625 × 2 - 1) × π
    0.2510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78884962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.2510986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.788849620147644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78884962} λ = 0.78884962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788849620147644))-π/2
    2×atan(0.454367189609289)-π/2
    2×0.426479743087528-π/2
    0.852959486175056-1.57079632675     		φ = -0.71783684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78884962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71783684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.129021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40996 KachelY 40996 0.78884962 -0.71783684 45.197754 -41.129021
    Oben rechts KachelX + 1 40997 KachelY 40996 0.78894549 -0.71783684 45.203247 -41.129021
    Unten links KachelX 40996 KachelY + 1 40997 0.78884962 -0.71790905 45.197754 -41.133159
    Unten rechts KachelX + 1 40997 KachelY + 1 40997 0.78894549 -0.71790905 45.203247 -41.133159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71783684--0.71790905) × R
    7.2210000000017e-05 × 6371000     		dl = 460.049910000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71783684--0.71790905) × R
    7.2210000000017e-05 × 6371000     		dr = 460.049910000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78884962-0.78894549) × cos(-0.71783684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.753230323628538 × 6371000     		do = 460.063869665443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78884962-0.78894549) × cos(-0.71790905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.753182825042342 × 6371000     		du = 460.034858109902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71783684)-sin(-0.71790905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753230323628538-0.753182825042342)×R²
    abs(0.78894549-0.78884962)×4.74985861964594e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74985861964594e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74985861964594e-05×40589641000000     		ar = 211645.668544358m²