Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4116 / 4148
↖ ↑ ↗
← S  2.284551°
E  0.878906°		 ← 4 882.61 m → S  2.284551°
E  0.922852°		 →
↑
4 882.54 m
↓
↑
4 882.54 m
↓
S  2.328460°
E  0.878906°		 ← 4 882.46 m →
23 839 185 m²		 S  2.328460°
E  0.922852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50250244140625 y=0.50640869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50250244140625 × 213)
    floor (0.50250244140625 × 8192)
    floor (4116.5)     		tx = 4116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50640869140625 × 213)
    floor (0.50640869140625 × 8192)
    floor (4148.5)     		ty = 4148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4116 / 4148 ti = "13/4116/4148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4116/4148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4116 ÷ 213
    4116 ÷ 8192     		x = 0.50244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4148 ÷ 213
    4148 ÷ 8192     		y = 0.50634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50244140625 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50634765625 × 2 - 1) × π
    -0.0126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0398835004838867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01533981} λ = 0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0398835004838867))-π/2
    2×atan(0.960901377177308)-π/2
    2×0.765461697923145-π/2
    1.53092339584629-1.57079632675     		φ = -0.03987293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03987293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.284551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4116 KachelY 4148 0.01533981 -0.03987293 0.878906 -2.284551
    Oben rechts KachelX + 1 4117 KachelY 4148 0.01610680 -0.03987293 0.922852 -2.284551
    Unten links KachelX 4116 KachelY + 1 4149 0.01533981 -0.04063930 0.878906 -2.328460
    Unten rechts KachelX + 1 4117 KachelY + 1 4149 0.01610680 -0.04063930 0.922852 -2.328460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03987293--0.04063930) × R
    0.000766370000000002 × 6371000     		dl = 4882.54327000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03987293--0.04063930) × R
    0.000766370000000002 × 6371000     		dr = 4882.54327000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01533981-0.01610680) × cos(-0.03987293) × R
    0.00076699 × 0.999205180038725 × 6371000     		do = 4882.60940759247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01533981-0.01610680) × cos(-0.04063930) × R
    0.00076699 × 0.999174337292596 × 6371000     		du = 4882.45869472047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03987293)-sin(-0.04063930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999205180038725-0.999174337292596)×R²
    abs(0.01610680-0.01533981)×3.08427461289673e-05×R²
    0.00076699×3.08427461289673e-05×6371000²
    0.00076699×3.08427461289673e-05×40589641000000     		ar = 23839184.9387951m²