Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4131 / 4133
↖ ↑ ↗
← S  1.625759°
E  1.538086°		 ← 4 884.53 m → S  1.625759°
E  1.582031°		 →
↑
4 884.45 m
↓
↑
4 884.45 m
↓
S  1.669686°
E  1.538086°		 ← 4 884.42 m →
23 857 985 m²		 S  1.669686°
E  1.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50433349609375 y=0.50457763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50433349609375 × 213)
    floor (0.50433349609375 × 8192)
    floor (4131.5)     		tx = 4131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50457763671875 × 213)
    floor (0.50457763671875 × 8192)
    floor (4133.5)     		ty = 4133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4131 / 4133 ti = "13/4131/4133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4131/4133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4131 ÷ 213
    4131 ÷ 8192     		x = 0.5042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4133 ÷ 213
    4133 ÷ 8192     		y = 0.5045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5045166015625 × 2 - 1) × π
    -0.009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0283786445750732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02684466} λ = 0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0283786445750732))-π/2
    2×atan(0.97202024691899)-π/2
    2×0.77121074528234-π/2
    1.54242149056468-1.57079632675     		φ = -0.02837484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02837484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.625759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4131 KachelY 4133 0.02684466 -0.02837484 1.538086 -1.625759
    Oben rechts KachelX + 1 4132 KachelY 4133 0.02761165 -0.02837484 1.582031 -1.625759
    Unten links KachelX 4131 KachelY + 1 4134 0.02684466 -0.02914151 1.538086 -1.669686
    Unten rechts KachelX + 1 4132 KachelY + 1 4134 0.02761165 -0.02914151 1.582031 -1.669686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02837484--0.02914151) × R
    0.000766670000000001 × 6371000     		dl = 4884.45457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02837484--0.02914151) × R
    0.000766670000000001 × 6371000     		dr = 4884.45457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02684466-0.02761165) × cos(-0.02837484) × R
    0.000766990000000002 × 0.999597461236629 × 6371000     		do = 4884.52628703384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02684466-0.02761165) × cos(-0.02914151) × R
    0.000766990000000002 × 0.99957541624609 × 6371000     		du = 4884.41856433549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02837484)-sin(-0.02914151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999597461236629-0.99957541624609)×R²
    abs(0.02761165-0.02684466)×2.20449905395936e-05×R²
    0.000766990000000002×2.20449905395936e-05×6371000²
    0.000766990000000002×2.20449905395936e-05×40589641000000     		ar = 23857984.830284m²