Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4137 / 4137
↖ ↑ ↗
← S  1.801461°
E  1.801758°		 ← 4 884.08 m → S  1.801461°
E  1.845703°		 →
↑
4 884.07 m
↓
↑
4 884.07 m
↓
S  1.845384°
E  1.801758°		 ← 4 883.96 m →
23 853 901 m²		 S  1.845384°
E  1.845703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50506591796875 y=0.50506591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50506591796875 × 213)
    floor (0.50506591796875 × 8192)
    floor (4137.5)     		tx = 4137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50506591796875 × 213)
    floor (0.50506591796875 × 8192)
    floor (4137.5)     		ty = 4137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4137 / 4137 ti = "13/4137/4137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4137/4137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4137 ÷ 213
    4137 ÷ 8192     		x = 0.5050048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4137 ÷ 213
    4137 ÷ 8192     		y = 0.5050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5050048828125 × 2 - 1) × π
    0.010009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03144661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5050048828125 × 2 - 1) × π
    -0.010009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0314466061507568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03144661} λ = 0.03144661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0314466061507568))-π/2
    2×atan(0.969042695992061)-π/2
    2×0.76967745111527-π/2
    1.53935490223054-1.57079632675     		φ = -0.03144142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03144661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03144142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.801461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4137 KachelY 4137 0.03144661 -0.03144142 1.801758 -1.801461
    Oben rechts KachelX + 1 4138 KachelY 4137 0.03221360 -0.03144142 1.845703 -1.801461
    Unten links KachelX 4137 KachelY + 1 4138 0.03144661 -0.03220803 1.801758 -1.845384
    Unten rechts KachelX + 1 4138 KachelY + 1 4138 0.03221360 -0.03220803 1.845703 -1.845384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03144142--0.03220803) × R
    0.000766610000000001 × 6371000     		dl = 4884.07231000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03144142--0.03220803) × R
    0.000766610000000001 × 6371000     		dr = 4884.07231000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03144661-0.03221360) × cos(-0.03144142) × R
    0.000766990000000002 × 0.999505759271875 × 6371000     		do = 4884.07818599838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03144661-0.03221360) × cos(-0.03220803) × R
    0.000766990000000002 × 0.999481366238124 × 6371000     		du = 4883.95898960264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03144142)-sin(-0.03220803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999505759271875-0.999481366238124)×R²
    abs(0.03221360-0.03144661)×2.43930337507914e-05×R²
    0.000766990000000002×2.43930337507914e-05×6371000²
    0.000766990000000002×2.43930337507914e-05×40589641000000     		ar = 23853901.1144285m²