Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4152 / 4184
↖ ↑ ↗
← S  3.864255°
E  2.460937°		 ← 4 875.38 m → S  3.864255°
E  2.504883°		 →
↑
4 875.22 m
↓
↑
4 875.22 m
↓
S  3.908099°
E  2.460937°		 ← 4 875.13 m →
23 767 936 m²		 S  3.908099°
E  2.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50689697265625 y=0.51080322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50689697265625 × 213)
    floor (0.50689697265625 × 8192)
    floor (4152.5)     		tx = 4152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51080322265625 × 213)
    floor (0.51080322265625 × 8192)
    floor (4184.5)     		ty = 4184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4152 / 4184 ti = "13/4152/4184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4152/4184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4152 ÷ 213
    4152 ÷ 8192     		x = 0.5068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4184 ÷ 213
    4184 ÷ 8192     		y = 0.5107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5107421875 × 2 - 1) × π
    -0.021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0674951546650391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04295146} λ = 0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0674951546650391))-π/2
    2×atan(0.934732249695904)-π/2
    2×0.751676180308547-π/2
    1.50335236061709-1.57079632675     		φ = -0.06744397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06744397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.864255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4152 KachelY 4184 0.04295146 -0.06744397 2.460937 -3.864255
    Oben rechts KachelX + 1 4153 KachelY 4184 0.04371845 -0.06744397 2.504883 -3.864255
    Unten links KachelX 4152 KachelY + 1 4185 0.04295146 -0.06820919 2.460937 -3.908099
    Unten rechts KachelX + 1 4153 KachelY + 1 4185 0.04371845 -0.06820919 2.504883 -3.908099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06744397--0.06820919) × R
    0.000765219999999997 × 6371000     		dl = 4875.21661999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06744397--0.06820919) × R
    0.000765219999999997 × 6371000     		dr = 4875.21661999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04295146-0.04371845) × cos(-0.06744397) × R
    0.000766990000000002 × 0.9977265174318 × 6371000     		do = 4875.38393268557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04295146-0.04371845) × cos(-0.06820919) × R
    0.000766990000000002 × 0.997674654963943 × 6371000     		du = 4875.13050708438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06744397)-sin(-0.06820919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9977265174318-0.997674654963943)×R²
    abs(0.04371845-0.04295146)×5.18624678568225e-05×R²
    0.000766990000000002×5.18624678568225e-05×6371000²
    0.000766990000000002×5.18624678568225e-05×40589641000000     		ar = 23767936.1849573m²