Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4159 / 4161
↖ ↑ ↗
← S  2.855263°
E  2.768554°		 ← 4 880.49 m → S  2.855263°
E  2.812500°		 →
↑
4 880.31 m
↓
↑
4 880.31 m
↓
S  2.899153°
E  2.768554°		 ← 4 880.30 m →
23 817 867 m²		 S  2.899153°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50775146484375 y=0.50799560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50775146484375 × 213)
    floor (0.50775146484375 × 8192)
    floor (4159.5)     		tx = 4159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50799560546875 × 213)
    floor (0.50799560546875 × 8192)
    floor (4161.5)     		ty = 4161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4159 / 4161 ti = "13/4159/4161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4159/4161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4159 ÷ 213
    4159 ÷ 8192     		x = 0.5076904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4161 ÷ 213
    4161 ÷ 8192     		y = 0.5079345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5076904296875 × 2 - 1) × π
    0.015380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04832039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.015869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0498543756048584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04832039} λ = 0.04832039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0498543756048584))-π/2
    2×atan(0.951367956796894)-π/2
    2×0.760481295099731-π/2
    1.52096259019946-1.57079632675     		φ = -0.04983374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04832039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.768554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04983374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.855263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4159 KachelY 4161 0.04832039 -0.04983374 2.768554 -2.855263
    Oben rechts KachelX + 1 4160 KachelY 4161 0.04908739 -0.04983374 2.812500 -2.855263
    Unten links KachelX 4159 KachelY + 1 4162 0.04832039 -0.05059976 2.768554 -2.899153
    Unten rechts KachelX + 1 4160 KachelY + 1 4162 0.04908739 -0.05059976 2.812500 -2.899153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04983374--0.05059976) × R
    0.000766019999999999 × 6371000     		dl = 4880.31341999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04983374--0.05059976) × R
    0.000766019999999999 × 6371000     		dr = 4880.31341999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04832039-0.04908739) × cos(-0.04983374) × R
    0.000767000000000004 × 0.99875855612769 × 6371000     		do = 4880.49061375568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04832039-0.04908739) × cos(-0.05059976) × R
    0.000767000000000004 × 0.998720105258951 × 6371000     		du = 4880.30272139389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04983374)-sin(-0.05059976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99875855612769-0.998720105258951)×R²
    abs(0.04908739-0.04832039)×3.84508687386598e-05×R²
    0.000767000000000004×3.84508687386598e-05×6371000²
    0.000767000000000004×3.84508687386598e-05×40589641000000     		ar = 23817866.5163558m²